sábado, 20 de outubro de 2007

Conjuntos





Revisão de Conjuntos





Revisão de Conjuntos


 


 Símbolos


    Para entender a
teoria dos conjuntos, você precisa conhecer os símbolos que são utilizados para
designar relações e operações entre os conjuntos. A tabela a seguir apresenta o
significado dos principais símbolos:


 










































pertence.gif (294 bytes)
: pertence

existe.gif (299 bytes)
: existe

nao_pertence.gif (301 bytes)
: não
pertence

nao_existe.gif (303 bytes)
: não
existe

esta_contido.gif (296 bytes)
:
está contido

para_todo.gif (302 bytes)
: para todo
(ou qualquer que seja)

nao_esta_contido.gif (303 bytes)
:
não está contido

vazio.gif (309 bytes)
: conjunto vazio

contem.gif (296 bytes)
: contém
:
conjunto dos números naturais

nao_contem.gif (309 bytes):
não
contém
:
conjunto dos números inteiros
/ : tal que
: conjunto dos números racionais

implica.gif (302 bytes)
: implica que
:
conjunto dos números reais

se_e_somente_se.gif (306 bytes)
:
se, e somente se

diferente.gif (293 bytes):
diferente



 


 


    A seguir, você
confere os símbolos referentes às operações que podemos realizar entre dois ou
mais conjuntos:


 


































interseccao.gif (299 bytes)
:
A intersecção B



uniao.gif (299 bytes)
:
A união B


a - b: diferença de A com B


a < b: a menor que b


amenor_ou_igual.gif (295 bytes)b:
a menor ou igual a b


a > b: a maior que b


amaior_ou_igual.gif (296 bytes)b:
a maior ou igual a b


a b: a e b


a b : a ou b




Definições de Conjuntos




 


Conjunto vazio


   É um conjunto que não possui
elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou
.


 


 


Subconjuntos


   Quando todos os elementos de um conjunto A
qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto
de B, ou seja Aesta_contido.gif (296 bytes)B(A
está contido em B).


Observações:



conjunto_contido.gif (2119 bytes)


(Dizemos que o conjunto A está contido
no conjunto B)


 





    • Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio,
      ou seja AA;






    • Conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou
      seja
      A.



 


 


União de Conjuntos



      


    Dados os conjuntos A e B, define-se como união
    dos conjuntos A e B o conjunto representado por A
    uniao.gif (299 bytes)
    B,
    formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: A
    uniao.gif (299 bytes)
    B =
    {x / x
    pertence.gif (294 bytes)
    A
    ou x
    pertence.gif (294 bytes)

    B}.



    conjunto_uniao.gif (2386 bytes)


     


    Ex:


    A = {1, 2, 8 , 9} e B = {0, 1, 3, 6, 9}
    implica.gif (302 bytes)
    A
    uniao.gif (299 bytes)
    B = {0, 1, 2, 3, 6, 8,
    9}


    C = {15, 30,60} e D = {2, 10, 55}
    implica.gif (302 bytes)
    C
    uniao.gif (299 bytes)
    D = {2, 10, 15, 30,
    55, 60}



Definições de Conjuntos




 


Intersecção de Conjuntos


 


   Dados os conjuntos A e B, define-se como
intersecção dos conjuntos A e B o conjunto representado por A
interseccao.gif (299 bytes) B, formado por
todos elementos pertencentes a A e B simultaneamente, ou seja: A
interseccao.gif (299 bytes) B: {x / x
pertence.gif (294 bytes)
A e x
pertence.gif (294 bytes)
B}


  
conjunto_interseccao.gif (1571 bytes)


 


        Ex:


        A = {1, 2, 8 , 9} e B = {0, 1, 3, 6, 9}
implica.gif (302 bytes)
A
interseccao.gif (299 bytes)

B = {1, 9}


        C = {15, 30,60} e D = {2, 10, 55}
implica.gif (302 bytes)
C

interseccao.gif (299 bytes)

D = { }


 


       


Diferença de Conjuntos


 


   Dados os conjuntos A e B, define-se como
diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto representado por A - B, formado
por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja A -
B = {x / x
pertence.gif (294 bytes)

A e x
nao_pertence.gif (301 bytes)

B}



conjunto_diferenca.gif (1604 bytes)


 


        Ex:


         A = {1, 2, 8 , 9} e B = {0, 1, 3, 6, 9}
A - B = {2, 8}



                                                                            B -
A = { 0, 3, 6}


         C = {15, 30,60} e D = {2, 10, 55}
implica.gif (302 bytes)
C
- D = {15, 30, 60}



                                                                           D - C
= {2, 10, 55}                                                           


 


 


Produto Cartesiano


 


Dados os conjuntos A e B, chama-se produto
cartesiano A com B, o conjunto A x B, formado por todos os pares ordenados (x,
y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja:  A x B = {(x, y) / x
A e y
B}


 


 


Número de subconjuntos de um
conjunto


 


Se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2n
subconjuntos de A.





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