sábado, 20 de outubro de 2007

inequações







Inequações










 

Inequações: Satisfazendo as Desigualdades



 


Inequações do 1º grau


 









 Denominamos inequação toda sentença
matemática aberta por uma desigualdade.




 


   As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das
seguintes formas:


ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b
maior_ou_igual.gif (296 bytes)
0,ax
+ b menor_ou_igual.gif (295 bytes)
0,
com  a e b reais (a
diferente.gif (293 bytes)0).
Exemplos:


 










2x - 7
maior_ou_igual.gif (296 bytes)

0

exercicio_233.gif (497 bytes)

exercicio_234.gif (460 bytes)



 


 


Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas
variáveis


 


 


 


Método prático




  • Substituímos a desigualdade por uma igualdade.

  • Traçamos a reta no plano cartesiano.

  • Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e
    verificamos se o mesmo satisfaz ou não a desigualdade inicial.


          Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao
semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar.


          Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao
semiplano oposto aquele ao qual pertence o ponto auxiliar. Exemplos:



  • Representando graficamente a inequação 2x + y
    menor_ou_igual.gif (295 bytes)

    4


 




exercicio_235.GIF (3122 bytes)


 


 


   Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 2x + y
menor_ou_igual.gif (295 bytes)
4.


    Verificamos:


2 . 0 + 0
menor_ou_igual.gif (295 bytes)
4


 


0
menor_ou_igual.gif (295 bytes)
4
(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação)


A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto
auxiliar (0, 0).


 


 


Resolução Gráfica de um Sistema de
Inequações do 1º grau


 


   Para resolver um sistema de inequações do 1º grau graficamente,
devemos:



  • traçar num mesmo plano o gráfico de cada inequação;

  • determinar a região correspondente à intersecção dos dois semiplanos.
    Exemplos:

  • Dê a resolução gráfica do sistema:
    exercicio_236.gif (623 bytes)



        Solução


        Traçando as retas -x +  y = 4 e 3x + 2y
= 6.



exercicio_237.GIF (5736 bytes)




Inequações do 2º grau



   


Em muitas situações é necessário saber quando é
que uma certa função é positiva ou negativa. A partir do gráfico da função
indicar com uma boa aproximação o intervalo do domínio em que a função é
positiva, negativa, não negativa ou não positiva, então, podemos resolver a
inequação do 2º grau considerando os seguintes fatores:


 



  • O sinal de a,
    coeficiente do termo do 2º grau, que nos indica que a parábola tem a
    concavidade voltada para cima (se a > 0) ou voltada para baixo (se a < 0).

     

  • O sinal de b2-4ac
    que nos fornece indicações sobre a existência de zeros, que devem ser
    determinados, caso existam.



 


    Então, aliando estas duas informações, o gráfico corresponderá a um dos
seguintes:


a > 0


exercicio_238.GIF (14445 bytes)


a < 0




exercicio_239.GIF (14210 bytes)


 


 


 Exemplo1:


Vamos ver qual é o conjunto-solução da inequação - 3x2
+ 2x - 5 > 0
.


Seja g(x) = - 3x2 + 2x - 5. Temos:




  • a = - 3 < 0, logo, o gráfico é
    uma parábola de concavidade voltada para baixo;



  • b2 - 4ac = 4 - 4
    . (- 3) . (- 5) = 4 - 60 = - 56 < 0.




    Logo, a função não tem zeros reais. Então, o gráfico
situa-se "abaixo" do eixo das abcissas e, portanto, a inequação -3x2
+ 2x - 5 > 0
não tem soluções.


 



Exemplo 2:


Consideremos agora a inequação x2 - 5x > -6
e vejamos qual o seu conjunto-solução.


Seja f(x) = x2 - 5x + 6. Resolver x2
- 5x > -6
é o mesmo que resolver x2 - 5x + 6 > 0. Temos:




  • a = 1 > 0, logo, o
    gráfico de f é uma parábola de concavidade voltada para cima.



  • b2 – 4ac = 25 -
    4×1×6 = 25 - 24 = 1 > 0
    .




    A função tem dois zeros reais.


    O gráfico de f será do tipo:



exercicio_240.GIF (2060 bytes)


 



Portanto, a função f é não negativa em ] -infinito.gif (297 bytes)
; 2] uniao.gif (299 bytes) [3 ; +
infinito.gif (297 bytes)[.


 



Exercícios Propostos


1. (CESGRANRIO) O conjunto solução da inequação x2
- 3x - 10 < 0
é:



  1. (-infinito.gif (297 bytes), -2)

  2. (-infinito.gif (297 bytes), -2)
    uniao.gif (299 bytes)
    (5,
    infinito.gif (297 bytes))

  3. (-2, 5) X

  4. (0, 3)

  5. (3, 10)


 


2. (PUC - MG) A solução da inequação x2
menor_ou_igual.gif (295 bytes) x

é o intervalo real:



  1. (-infinito.gif (297 bytes), -11]

  2. [- 1, infinito.gif (297 bytes))

  3. [-1, 0]

  4. [-1, 1]

  5. [0, 1) X


 


 3. (UEL - PR) O conjunto dos valores reais de x,
que tornam verdadeira a sentença 2x2 - x < 1, é:



  1. {x pertence.gif (294 bytes) IR / -1/2 < x <
    1}
    X

  2. {x pertence.gif (294 bytes) IR / x > 1 ou x
    < -1/2}

  3. {x pertence.gif (294 bytes) IR / x < 1}

  4. {x pertence.gif (294 bytes) IR / 1/2 < x <
    1}

  5. {x pertence.gif (294 bytes) IR / x < -1/2 }


 


4.(CESGRANRIO) As soluções de x2 - 2x < 0
são os valores de x pertencentes ao conjunto:



  1. (0, 2) X

  2. (-infinito.gif (297 bytes), 0 )

  3. (2, infinito.gif (297 bytes))

  4. (-infinito.gif (297 bytes), 0 )
    uniao.gif (299 bytes) (2,
    infinito.gif (297 bytes))

  5. (0, infinito.gif (297 bytes))


 


5. (UNESP) O conjunto-solução da inequação (x - 2)2
< 2x - 1
, considerando como universo o conjunto IR, está definido por:


a) 1 < x < 5 X


b) 3 < x < 5


c) 2 < x < 4


d) 1 < x < 4


e) 2 < x < 5


 


6. (UFSE) O trinômio y = x2 + 2kx + 4k
admitirá duas raízes reais e distintas se, e somente se:



  1. k > 4

  2. k > 0 e k diferente.gif (293 bytes) 4

  3. k < 0 ou k > 4 X

  4. k diferente.gif (293 bytes) 0 e k
    diferente.gif (293 bytes) 4

  5. 0 < k < 4


 


7. (CESGRANRIO) A menor solução inteira de x2
- 2x - 35 < 0
é: 



  1. -5

  2. -4 X

  3. -3

  4. -2

  5. -1


 


8. (UFSC) A equação 2x2 - px + 8 = 0
tem raízes reais e distintas para p satisfazendo as condições: 



  1. p menor_ou_igual.gif (295 bytes) 8 ou
    p menor_ou_igual.gif (295 bytes) -8

  2. -8 menor_ou_igual.gif (295 bytes) p
    menor_ou_igual.gif (295 bytes) 8

  3. p maior_ou_igual.gif (296 bytes) 8 ou
    p > 8

  4. p < -8 ou p
    maior_ou_igual.gif (296 bytes) 8

  5. p < -8 ou p > 8 X


 


 9. (PUC/SP) Os valores de m
pertence.gif (294 bytes)

, para os quais o trinômio y =
(m-1)x2 + mx + 1
tem dois zeros reais e distintos, são: 



  1. m diferente.gif (293 bytes) 1 e
    m diferente.gif (293 bytes) 2;

    X

  2. 1 menor_ou_igual.gif (295 bytes)
    m menor_ou_igual.gif (295 bytes)
    2;

  3. m menor_ou_igual.gif (295 bytes)
    1;

  4. m maior_ou_igual.gif (296 bytes)
    2;

  5. m = 2


 


 10. (FATEC/SP) Os valores de k, k
pertence.gif (294 bytes)
,
para os quais a equação kx2 + 9 = kx - 3 não admite solução real,
pertence ao intervalo: 



  1. (infinito.gif (297 bytes), -10)

  2. (-10, -5)

  3. (-2, 0)

  4. (0, 48) X

  5. (48, 100)





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