sábado, 20 de outubro de 2007

Juros







Os Famosos Juros





Os Famosos Juros


 



    Vamos supor que uma pessoa aplique certa quantia (capital) em uma
caderneta de poupança por um determinado período (tempo). A aplicação é como se
ela estivesse fazendo um empréstimo ao banco. Então, no fim desse período, essa
pessoa recebe uma quantia (juros) como compensação. O valor dessa quantia é
estabelecido por uma porcentagem (taxa de juros).


 


    Ao final da aplicação, a pessoa terá em sua conta a
quantia correspondente a capital + juros (montante).


 


    Veja um exemplo:


 


    Um banco oferece rendimento de 1,2% ao mês.
Se uma quantia de R$ 600,00 for aplicada nesse banco, vejamos
que quantia o cliente terá em sua conta no fim de 1 mês:


    1,2% de 600 =
0,012.600 = 7,2


    600,00 + 7,20 = 607,20


 


    No fim de 1 mês de aplicação a quantia em depósito
será de R$ 607,20. Nesse problema, temos:


 


    R$ 600,00:
capital (C) ou principal


    1 mês:
tempo (t)


    1,2% ao mês:
taxa de juros (i)


    R$ 7,20:
juros (j)


    R$ 607,20:
montante (M)


 


 


Juros simples



 


    O regime de juros será simples quando o
percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros
gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou
simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de
somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:


 










J = P . i . n




 


Onde:








J = juros

P = principal (capital)

i = taxa de juros

n = número de períodos



 


    Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com
juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os
juros que pagarei serão:


J = 1000 x 0.08 x 2 = 160


Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.




Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )




 










M = P . ( 1 + ( i . n ) )




 


 



   Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00
à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.


    SOLUÇÃO:

    M = P . ( 1 + (i.n) )

    M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42


   Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma
unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o
valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.


  


 


Alguns exemplos resolvidos sobre juros simples:


  



1) Calcular os juros simples de
R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.


 


    0.13 / 6 = 0.02167

    logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195


    j = 1200 x 0.195 = 234



  


2) Calcular os juros simples produzidos por R$
40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.


 


    Temos: J = P.i.n

    A taxa de 36% a.a. eqüivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.

    Agora, como a taxa e o período estão referidos à


mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:

    J = 40000.0,001.125 = R$5000,00


 


3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2%
a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?


 


    Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)

    Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de
tempo, ou seja, meses. Logo,

    3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:

    P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67


 


   4 - Se a taxa de uma
aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um
capital aplicado através de capitalização simples?




   Objetivo: M = 2.P

    Dados: i = 150/100 = 1,5

    Fórmula: M = P (1 + i.n)

    Desenvolvimento:


2P = P (1 + 1,5 n)


2 = 1 + 1,5 n


n = 2/3 ano = 8 meses


 


Juros compostos


 


    O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e
portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados
a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período
seguinte.


 


    Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao
principal. Após três meses de capitalização, temos:


 


    1º mês: M =P.(1 + i)

    2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x
(1 + i)

    3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x
(1 + i) x (1 + i)


    Simplificando, obtemos a fórmula:

  










M = P . (1 +  i)n




 


    Importante: a taxa i tem que ser expressa na
mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.


    Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante
ao final do período:

  


 










J = M - P




 


 


Exemplos:


 


1) Calcule o montante de um
capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5%
ao mês.

  (use log 1,035 = 0,0149 e log 1,509 = 0,1788)


   Resolução:


   P = R$ 6.000,00

    t = 1 ano = 12 meses

    i = 3,5 % a.m. = 0,035

    M = ?


   Usando a fórmula M = P.(1+i)n, obtemos:


   M  =  6000.(1+0,035)12  =  6000. (1,035)12

    Fazendo  x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:


   log x = log 1,03512    =>   log x = 12 log 1,035    =>    log x
= 0,1788    =>    x = 1,509


   Então  M = 6000.1,509 = 9054.

   


Portanto o montante é R$9.054,00


 


 


2) Quanto receberá de juros, no
fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$6.000,
à taxa de 1% ao mês? ((1,01)6 = 1,06152)


 


P = 6000


t = 1 semestre = 6 meses


i = 1% (0,01) ao mês


 


M = 6000.(1+0,01)6 =
6000.(1,01)6


M = 6000.1,06152 = 6369,12
                   


 


Portanto o montante é R$6369,12


Mas queremos saber quanto essa pessoa receberá de juros, e não qual o
montante que ela receberá. Então:


 


J = M - P


J = 6369,12 - 6000


j = R$396,12






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