sábado, 20 de outubro de 2007

Logica







Um pouco de Lógica





Um pouco de Lógica



 


SENTENÇA OU PROPOSIÇÃO


 


  Sentença ou proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que
exprimem uma idéia.


 



· A lua é quadrada.

· A neve é branca.

· Matemática é uma ciência.


 


Não serão objeto de estudo as sentenças interrogativas ou exclamativas.


 


 


OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL


 



  • VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS



    São letras latinas minúsculas p,q,r,s,....
    para indicar as proposições.

    Exemplos:    A lua é quadrada : p

                         A neve é branca : q


 



  • MODIFICADOR

     


      Uma proposição pode ser formada a partir de
outra, pelo uso do modificador "não". Ao acrescentarmos o não em uma proposição,
obtemos a sua negação.


    Indicando uma proposição por p, sua negação
será representada por ~p.


 


    Exemplos:    p :  A lua é
quadrada

                     ~p: A lua NÃO é quadrada.


 


Se uma proposição é verdadeira, sua negação será falsa. E se uma proposição é
falsa, sua negação será verdadeira.   


 



Tabela verdade da
"negação"

















p ~p
V F
F V



 


      ~p
é verdadeira (falsa) se e somente se
p
é falsa (verdadeira).


 


OBS: ~(~p) = p


 


 



  • CONECTIVOS LÓGICOS

     

    São palavras usadas para formar uma proposição a partir de outra.



    "E" representado por
    e.gif (292 bytes)

    "OU"
    representado por
    ou.gif (292 bytes)

    "SE...ENTÃO" representado por
    se_entao.gif (297 bytes)

    "SE E SOMENTE SE" representado por
    se_somente_se.gif (304 bytes)

    "NÃO" representado por ~

     


 


Exemplos:


A lua é quadrada e a neve é branca. :
p e.gif (292 bytes) q

(p e.gif (292 bytes) q são chamados conjunção)


A lua é quadrada ou a neve é branca. :
p ou.gif (292 bytes) q

( p ou.gif (292 bytes) q são chamados disjunção)


Se a lua é quadrada então a neve é branca. :
p
se_entao.gif (297 bytes) q

( p é o antecedente e q o conseqüente)


A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. :
p
se_somente_se.gif (304 bytes)
q


A lua não é quadrada. : ~
p


 


Princípio da Identidade


Todo objeto é idêntico a si mesmo.


 


Princípio da Contradição


Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da
outra), uma delas é falsa.


 


Princípio do Terceiro Excluído


Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é
verdadeira.


 


 


    Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das
proposições compostas (moleculares), conhecidos os valores das proposições
simples que as compõem, usaremos tabelas-verdade:


 


Tabela verdade da
"conjunção"
:































p


q


p e.gif (292 bytes) q


V


V


V


V


F


F


F


V


F


F


F


F




 


    A conjunção p e.gif (292 bytes)
q será verdadeira apenas quando p e q forem verdadeiros


 


 


Tabela verdade da
"disjunção"































p


q


p ou.gif (292 bytes) q


V


V


V


V


F


V


F


V


V


F


F


F




 


   A disjunção é falsa se, e somente, p e q são falsos.


 


 


Tabela verdade da
"implicação"































p


q


p se_entao.gif (297 bytes)
q


V


V


V


V


F


F


F


V


V


F


F


V




 


    A  implicação é falsa se, e somente se, o antecedente
é verdadeiro e o conseqüente é falso.


 


Tabela verdade da
"bi-implicação"































p


q


p
se_somente_se.gif (304 bytes) q


V


V


V


V


F


F


F


V


F


F


F


V




 


    A bi-implicação é verdadeira se, e somente se, seus
componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos.


SÍMBOLOS AUXILIARES :
( )
, parênteses que servem para denotar
o "alcance" dos conectivos;


 


Exemplos:



p: A lua é quadrada


q: A neve é branca


Se a lua é quadrada e a neve é branca
então
a lua não é quadrada. :

   ((p e.gif (292 bytes) q)
se_entao.gif (297 bytes) ~ p)


A lua não é quadrada se e somente se a
neve é branca. :

   ((~ p)
se_somente_se.gif (304 bytes)q))



 


Os parênteses serão usados segundo a
seguinte ordem dos conectivos: ~, ou.gif (292 bytes)
, e.gif (292 bytes) ,
se_entao.gif (297 bytes),
se_somente_se.gif (304 bytes).


Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela
direita
.


 


Exemplo: a fórmula
p ou.gif (292 bytes) q
e.gif (292 bytes) ~ r
se_entao.gif (297 bytes) p
se_entao.gif (297 bytes) ~ q
deve ser
entendida como

                  (((p
ou.gif (292 bytes) q)
e.gif (292 bytes) (~ r))
se_entao.gif (297 bytes) ( p
se_entao.gif (297 bytes) (~ q)))


 



 



Exemplo:
Construir a tabela verdade da fórmula : ((p
ou.gif (292 bytes) q)
se_entao.gif (297 bytes) ~p)
se_entao.gif (297 bytes) (q
e.gif (292 bytes) p)


 














































p

q



      ((p ou.gif (292 bytes) q)
se_entao.gif (297 bytes) ~p)
se_entao.gif (297 bytes) (q
e.gif (292 bytes) p) 


V


V


V


F


F



V

V

V


F


V


F


F



V

F

F


V


V


V


V



F

F

F


F


F


V


V



F

F




 


NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE


 


Cada proposição simples tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n
atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com
repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de
linhas da tabela verdade é 2n. Assim,
para duas proposições são 22 = 4 linhas;
para 3 proposições são 23 = 8; etc.


 


Exemplo: a tabela - verdade da fórmula ((p
e.gif (292 bytes) q)
se_entao.gif (297 bytes)
r)
terá 8
linhas, como segue:


 





























































p



q



r



((p e.gif (292 bytes) q)
se_entao.gif (297 bytes) r )


V


V


V


V      V


V


V


F


V      F


V


F


V


F     V


V


F


F


F     V


F


V


V


F     V


F


V


F


F     V


F


F


V


F     V


F


F


F


F     V







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