Um pouco de Lógica
SENTENÇA OU PROPOSIÇÃO
Sentença ou proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que
exprimem uma idéia.
·
A lua é quadrada.· A neve é branca.
· Matemática é uma ciência.
Não serão objeto de estudo as sentenças interrogativas ou exclamativas.
OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
- VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS
São letras latinas minúsculas p,q,r,s,....
para indicar as proposições.
Exemplos: A lua é quadrada : p
A neve é branca : q
- MODIFICADOR
Uma proposição pode ser formada a partir de
outra, pelo uso do modificador "não". Ao acrescentarmos o não em uma proposição,
obtemos a sua negação.
Indicando uma proposição por p, sua negação
será representada por ~p.
Exemplos: p : A lua é
quadrada
~p: A lua NÃO é quadrada.
Se uma proposição é verdadeira, sua negação será falsa. E se uma proposição é
falsa, sua negação será verdadeira.
Tabela verdade da
"negação"
p | ~p |
V | F |
F | V |
~p
é verdadeira (falsa) se e somente se p
é falsa (verdadeira).
OBS: ~(~p) = p
- CONECTIVOS LÓGICOS
São palavras usadas para formar uma proposição a partir de outra.
"E" representado por
"OU"
representado por
"SE...ENTÃO" representado por
"SE E SOMENTE SE" representado por
"NÃO" representado por ~
Exemplos:
A lua é quadrada e a neve é branca. :
p q
(p q são chamados conjunção)
A lua é quadrada ou a neve é branca. :
p q
( p q são chamados disjunção)
Se a lua é quadrada então a neve é branca. :
p
q
( p é o antecedente e q o conseqüente)
A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. :
p
q
A lua não é quadrada. : ~
p
Princípio da Identidade
Todo objeto é idêntico a si mesmo.
Princípio da Contradição
Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da
outra), uma delas é falsa.
Princípio do Terceiro Excluído
Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é
verdadeira.
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das
proposições compostas (moleculares), conhecidos os valores das proposições
simples que as compõem, usaremos tabelas-verdade:
Tabela verdade da
"conjunção" :
p | q | p q |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
A conjunção p
q será verdadeira apenas quando p e q forem verdadeiros
Tabela verdade da
"disjunção"
p | q | p q |
V | V | V |
V | F | V |
F | V | V |
F | F | F |
A disjunção é falsa se, e somente, p e q são falsos.
Tabela verdade da
"implicação"
p | q | p |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | V |
F | F | V |
A implicação é falsa se, e somente se, o antecedente
é verdadeiro e o conseqüente é falso.
Tabela verdade da
"bi-implicação"
p | q | p |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | V |
A bi-implicação é verdadeira se, e somente se, seus
componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos.
SÍMBOLOS AUXILIARES :
( ) , parênteses que servem para denotar
o "alcance" dos conectivos;
Exemplos:
p: A lua é quadrada
q: A neve é branca
Se a lua é quadrada e a neve é branca
então a lua não é quadrada. :
((p q)
~ p)
A lua não é quadrada se e somente se a
neve é branca. :
((~ p)
q))
Os parênteses serão usados segundo a
seguinte ordem dos conectivos: ~,
, ,
,
.
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela
direita.
Exemplo: a fórmula
p q
~ r
p
~ q deve ser
entendida como
(((p
q)
(~ r))
( p
(~ q)))
Exemplo:
Construir a tabela verdade da fórmula : ((p
q)
~p)
(q
p)
p | q | ((p q) | ||||
V | V | V | F | F | V | V |
V | F | V | F | F | V | F |
F | V | V | V | V | F | F |
F | F | F | V | V | F | F |
NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
Cada proposição simples tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n
atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com
repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de
linhas da tabela verdade é 2n. Assim,
para duas proposições são 22 = 4 linhas;
para 3 proposições são 23 = 8; etc.
Exemplo: a tabela - verdade da fórmula ((p
q)
r) terá 8
linhas, como segue:
p | q | r | ((p q) r ) |
V | V | V | V V |
V | V | F | V F |
V | F | V | F V |
V | F | F | F V |
F | V | V | F V |
F | V | F | F V |
F | F | V | F V |
F | F | F | F V |
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