A Utilidade das Regras de Três
Regra de Três Simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que
envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto,
determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos
utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da
mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies
diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1)
Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2,
uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts
por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2,
qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2) | Energia (Wh) |
1,2 | 400 |
1,5 | x |
Identificação do tipo de
relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x
(2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia
solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo,
colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
Definção: Duas grandezas são
diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma
razão. Ou ainda, diminuindo uma delas, a outra diminui na mesma razão.
2)
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h,
faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria
esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade (Km/h) | Tempo (h) |
400 | 3 |
480 | x |
Identificação do tipo de
relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x
(2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do
percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar
que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo,
colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2
horas e 30 minutos.
Definção:
Duas grandezas são
inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na
mesma razão. Ou ainda, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma razão.
3)
Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00.
Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e
preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas | Preço (R$) |
3 | 120 |
5 | x |
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o
preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a
proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4)
Uma equipe deoperários, trabalhando 8 horas por dia,
realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de
serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe
fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia | Prazo para término (dias) |
8 | 20 |
5 | x |
Observe que: Diminuindo o número de horas
trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a
proporção e resolvendo a equação temos:
Regra de Três Composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas,
direta ou inversamente proporcionais.
Para fazermos a regra de três composta, basta desdobrarmos o
problema como se fossem vários problemas de regra de três simples.
Assim, analisamos cada grandeza em relação à grandeza de referência, supondo
constante as demais grandezas.
Exemplos:
- Homens x dias: A grandeza homem é inversamente
proporcional a grandeza dias pois MENOS homens necessitarão de MAIS dias para
fabricar um certo produto, trabalhando a mesma quantidade de dias.
- Horas por dia x dias: Horas por dia é inversamente
proporcional à grandeza dias, porque trabalhando MENOS horas por dia, serão
necessários MAIS dias para fabricar um certo produto.
Exemplos:
1) Em
8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de
areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para
descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes
que se correspondem:
Horas | Caminhões | Volume |
8 | 20 | 160 |
5 | x | 125 |
Identificação dos tipos de
relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x
(2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de
trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a
relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª
coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos
aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é
diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna).
Devemos igualar a razão que contém o
termo x com o produto das
outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2)Numa
fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos
em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4
homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homens | Carrinhos | Dias |
8 | 20 | 5 |
4 | x | 16 |
Observe que:
Aumentando o número de homens, a
produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é
diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de
carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente
proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a
razão que contém o termo x
com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3)
Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com
2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a
altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar
esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x.
Depois colocam-se flechas
concordantes para as grandezas diretamente proporcionais
com a incógnita e discordantes
para as inversamente proporcionais, como mostra a figura
abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação temos
:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
Exercícios complementares
Agora chegou a sua vez de tentar.
Pratique tentando
fazer esses exercícios:
1)
Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10
torneiras para encher 2 piscinas?
Resposta: 6 horas.
2) Uma equipe composta de 15
homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20
homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?
Resposta: 35 dias.
3)
Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um
muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas
por dia, para construir um muro de 225m?
Resposta: 15 dias.
4)
Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma
velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para
entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?
Resposta: 10 horas por dia.
5)
Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de
largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de
largura, seriam produzidos em 25 minutos?
Resposta: 2025 metros.
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