sábado, 20 de outubro de 2007

Regras de Três







A Utilidade das Regras de Três





A Utilidade das Regras de Três


 



    Regra de Três Simples


 


    Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que
envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto,
determinar um valor a partir dos três já conhecidos.


 


        Passos
utilizados numa regra de três simples:


 


        1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da
mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies
diferentes em correspondência.


 


        2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais.


 


        3º) Montar a proporção e resolver a equação.


 


 


        Exemplos:


 


        1)
Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2,
uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts
por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2,
qual será a energia produzida?


        Solução: montando a tabela:


 


















Área (m2)



Energia (Wh)



1,2



400



1,5



x




 


        Identificação do tipo de
relação:



regra_de_tres.GIF (1438 bytes)


 


        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x
(2ª coluna).




        Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia
solar aumenta.




        Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo,
colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos
:


 



regra_de_tres1.GIF (1530 bytes)



regra_de_tres2.GIF (1619 bytes)


 


Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.


 



Definção: Duas grandezas são
diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma
razão. Ou ainda, diminuindo uma delas, a outra diminui na mesma razão.


 


 


        2)
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h,
faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria
esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


        Solução: montando a tabela:


 


















Velocidade (Km/h)


Tempo (h)



400



3



480



x




 


        Identificação do tipo de
relação:



regra_de_tres3.GIF (1574 bytes)


 


        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x
(2ª coluna).

        Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do
percurso diminui.

        Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar
que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo,
colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos
:



regra_de_tres4.GIF (1641 bytes)   


     
regra_de_tres5.GIF (2078 bytes)


 


Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2
horas e 30 minutos.


 



Definção:
Duas grandezas são
inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na
mesma razão. Ou ainda, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma razão.


  3)
Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00.
Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e
preço?


        Solução: montando a tabela:


 


















Camisetas


Preço (R$)



3



120



5



x




 


        Observe que: Aumentando o número de camisetas, o
preço aumenta.

        Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a
proporção e resolvendo a equação temos
:



regra_de_tres6.GIF (1452 bytes)


 


Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.


 


        4) Uma equipe de
operários, trabalhando 8 horas por dia,
realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de
serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe
fará o mesmo trabalho?


        Solução: montando a tabela:


 


















Horas por dia


Prazo para término (dias)



8



20



5



x




 


        Observe que: Diminuindo o número de horas
trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.

        Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a
proporção e resolvendo a equação temos
:



regra_de_tres7.GIF (1872 bytes)


Regra de Três Composta


 


A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas,
direta ou inversamente proporcionais.


 


     Para fazermos a regra de três composta, basta desdobrarmos o
problema como se fossem vários problemas de regra de três simples.

Assim, analisamos cada grandeza em relação à grandeza de referência, supondo
constante as demais grandezas.


 


   Exemplos:


 



  • Homens x dias: A grandeza homem é inversamente
    proporcional a grandeza dias pois MENOS homens necessitarão de MAIS dias para
    fabricar um certo produto, trabalhando a mesma quantidade de dias.

     

  • Horas por dia x dias: Horas por dia é inversamente
    proporcional à grandeza dias, porque trabalhando MENOS horas por dia, serão
    necessários MAIS dias para fabricar um certo produto.


 


 


Exemplos:


 


   1) Em
8 horas, 20 caminhões
descarregam 160m3 de
areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para
descarregar 125m3?


        Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes
que se correspondem:


 





















Horas


Caminhões


Volume



8



20



160



5



x



125




 


        Identificação dos tipos de
relação:


        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x
(2ª coluna).



regra_de_tres8.GIF (1799 bytes)


 


        A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.

        Observe que:

        Aumentando o número de horas de
trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a
relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª
coluna
).


 


        Aumentando o volume de areia, devemos
aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é
diretamente proporcional
(seta para baixo na 3ª coluna).
Devemos igualar a razão que contém o
termo x
com o produto das
outras razões
de acordo com o sentido das setas.


 


Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



regra_de_tres9.GIF (1946 bytes)



regra_de_tres10.GIF (3091 bytes)


 


Logo, serão necessários 25 caminhões.


2)Numa
fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos
em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4
homens
em 16 dias?


        Solução: montando a tabela:


 





















Homens


Carrinhos


Dias



8



20



5



4



x



16




 


        Observe que:

        Aumentando o número de homens, a
produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é
diretamente proporcional
(não precisamos inverter a razão).


 


        Aumentando o número de dias, a produção de
carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente
proporcional
(não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a
razão que contém o termo x
com o produto das outras razões.


 


Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



regra_de_tres11.GIF (1443 bytes)


 


Logo, serão montados 32 carrinhos.


 


   


     3)
Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com
2m de altura
. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a
altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar
esse muro?


        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x.
Depois colocam-se flechas
concordantes
para as grandezas diretamente proporcionais
com a incógnita e discordantes
para as inversamente proporcionais, como mostra a figura
abaixo:



regra_de_tres12.GIF (1716 bytes)



Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



regra_de_tres13.GIF (2164 bytes)


 


Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.


  


     Exercícios complementares


 


    Agora chegou a sua vez de tentar.
Pratique
tentando
fazer esses exercícios:


 


   1)
Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10
torneiras para encher 2 piscinas? 
Resposta: 6 horas.


   


    2) Uma equipe composta de 15
homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20
homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?  

Resposta: 35 dias.


 


   3)
Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um
muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas
por dia, para construir um muro de 225m? 

Resposta: 15 dias.


 


   4)
Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma
velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para
entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? 

Resposta: 10 horas por dia.


  


   5)
Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de
largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de
largura, seriam produzidos em 25 minutos? 

Resposta: 2025 metros.






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