Regras de Três

A Utilidade das Regras de Três

 

    Regra de Três Simples

 

    Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que
envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto,
determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

 

        Passos
utilizados numa regra de três simples:

 

        1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da
mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies
diferentes em correspondência.

 

        2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais.

 

        3º) Montar a proporção e resolver a equação.

 

 

        Exemplos:

 

        1)
Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m²,
uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts
por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m²,
qual será a energia produzida?

        Solução: montando a tabela:

 

Área (m2)	Energia (Wh)
1,2	400
1,5	x

 

        Identificação do tipo de
relação:

 

        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x
(2ª coluna).

        Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia
solar aumenta.

        Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo,
colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

 

 

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

 

Definção: Duas grandezas são
diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma
razão. Ou ainda, diminuindo uma delas, a outra diminui na mesma razão.

 

 

        2)
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h,
faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria
esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

        Solução: montando a tabela:

 

Velocidade (Km/h)	Tempo (h)
400	3
480	x

 

        Identificação do tipo de
relação:

 

        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x
(2ª coluna).

        Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do
percurso diminui.

        Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar
que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo,
colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

   

     

 

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2
horas e 30 minutos.

 

Definção:
Duas grandezas são
inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na
mesma razão. Ou ainda, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma razão.

  3)
Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00.
Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e
preço?

        Solução: montando a tabela:

 

Camisetas	Preço (R$)
3	120
5	x

 

        Observe que: Aumentando o número de camisetas, o
preço aumenta.

        Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a
proporção e resolvendo a equação temos:

 

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

 

        4) Uma equipe de
operários, trabalhando 8 horas por dia,
realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de
serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe
fará o mesmo trabalho?

        Solução: montando a tabela:

 

Horas por dia	Prazo para término (dias)
8	20
5	x

 

        Observe que: Diminuindo o número de horas
trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.

        Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a
proporção e resolvendo a equação temos:

Regra de Três Composta

 

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas,
direta ou inversamente proporcionais.

 

     Para fazermos a regra de três composta, basta desdobrarmos o
problema como se fossem vários problemas de regra de três simples.
Assim, analisamos cada grandeza em relação à grandeza de referência, supondo
constante as demais grandezas.

 

   Exemplos:

 

• Homens x dias: A grandeza homem é inversamente
  proporcional a grandeza dias pois MENOS homens necessitarão de MAIS dias para
  fabricar um certo produto, trabalhando a mesma quantidade de dias.
  
   


• Horas por dia x dias: Horas por dia é inversamente
  proporcional à grandeza dias, porque trabalhando MENOS horas por dia, serão
  necessários MAIS dias para fabricar um certo produto.

 

 

Exemplos:

 

   1) Em
8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de
areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para
descarregar 125m³?

        Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes
que se correspondem:

 

Horas	Caminhões	Volume
8	20	160
5	x	125

 

        Identificação dos tipos de
relação:

        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x
(2ª coluna).

 

        A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.

        Observe que:

        Aumentando o número de horas de
trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a
relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª
coluna).

 

        Aumentando o volume de areia, devemos
aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é
diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna).
Devemos igualar a razão que contém o
termo x com o produto das
outras razões de acordo com o sentido das setas.

 

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

 

Logo, serão necessários 25 caminhões.

2)Numa
fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos
em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4
homens em 16 dias?

        Solução: montando a tabela:

 

Homens	Carrinhos	Dias
8	20	5
4	x	16

 

        Observe que:

        Aumentando o número de homens, a
produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é
diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

 

        Aumentando o número de dias, a produção de
carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente
proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a
razão que contém o termo x
com o produto das outras razões.

 

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

 

Logo, serão montados 32 carrinhos.

 

   

     3)
Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com
2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a
altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar
esse muro?

        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x.
Depois colocam-se flechas
concordantes para as grandezas diretamente proporcionais
com a incógnita e discordantes
para as inversamente proporcionais, como mostra a figura
abaixo:

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

 

Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

  

     Exercícios complementares

 

    Agora chegou a sua vez de tentar.
Pratique tentando
fazer esses exercícios:

 

   1)
Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10
torneiras para encher 2 piscinas? 
Resposta: 6 horas.

   

    2) Uma equipe composta de 15
homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20
homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?  
Resposta: 35 dias.

 

   3)
Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um
muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas
por dia, para construir um muro de 225m? 
Resposta: 15 dias.

 

   4)
Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma
velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para
entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? 
Resposta: 10 horas por dia.

  

   5)
Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de
largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de
largura, seriam produzidos em 25 minutos? 
Resposta: 2025 metros.