sábado, 20 de outubro de 2007

Potenciacão e radiciação







A Potência e a Raiz







A Potência e a Raiz


 


Potenciação


 


Para indicar que um número está elevado a uma potencia qualquer, colocamos
esta potência como expoente. Veja o exemplo.


 


Expoente 0


a0 = 1


Exemplos:




  • 50 = 1                 



  • -110 = 1



  • (0,2356)0 = 1



  • (3 / 4)0 = 1                        



 


Expoente 1


a1 = a


A potenciação funciona da seguinte forma:



  •  



Expoente inteiro maior que 1



 

a_na_n.gif (710 bytes)


 


Exemplo:




  • 5 elevado à potência 4 é igual a 54



    Quando dizemos que um número qualquer está "elevado à potencia 4", por
exemplo, estamos dizendo que este número será multiplicado por ele mesmo 4
vezes. Vamos desenvolver o exemplo acima:


 


54=5·5·5·5=625


Veja mais exemplos:




  • 29 = 2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 512



  • 33 = 3.3.3 = 27



  • 82 = 8.8 = 64




     



 


PRINCIPAIS
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO






 
































a0 = 1


 Esta é uma definição de potenciação, "a" é um número qualquer, diferente
de zero.

a1 = a

 A
potência 1 indica que devemos multiplicar "a" por ele mesmo 1 única vez.
Portanto, é o próprio "a".

1n = 1

 A
potência "n" indica quantas vezes o número 1 será multiplicado por ele
mesmo. Mas idependente dessa quantidade, o resultado sempre será 1, ou
seja, 1.1.1.1 infinitas vezes dará 1.

0n = 0


 Idem ao ítem anterior. Não interessa quantas vezes o zero seja
multiplicado por ele mesmo, sempre será zero.


potenciacao.gif (486 bytes)


 Esta também é uma definição. Sempre que tivermos um expoente negativo,
este pode trocar de numerador para denominador, ou seja, vai de cima da
fração para de baixo da fração.


potenciacao1.gif (479 bytes)

 A
regra acima também vale ao contrário. Se tivermos uma potência negativa no
denominador, este se transforma em numerador ao trocar o sinal da
potência.



 



 


Produto de
potências de mesma base


 


Vamos começar com a multiplicação. Por exemplo, se temos o
número 54 multiplicado por 53:


 






















54 *53

 Esta é a
operação que queremos efetuar. Vamos abrir a potência.

(5*5*5*5)*(5*5*5)

 Agora veja
que esta multiplicação é igual à 5 elevado na potência sete.

54 *53 = 57

 Daqui nós
tiramos a regra para qualquer multiplicação de potências com mesma base.
Conserva-se a base e soma-se o expoente. Genéricamente temos:

am*an = am+n

 Esta é a
regra, "a" pode ser qualquer número (real, imaginário...) que continua
valendo. É muito importante entendê-la, pois é muito utilizada.



 


 


Divisão de potências de mesma
base


 


Agora vamos estudar a divisão de potências. Vamos fazer um
exemplo, 126 divididos por 122 . Veja a tabela abaixo:


 



























potenciacao2.gif (450 bytes)

 Esta é a divisão
que queremos efetuar. Vamos novamente abrir a potência.


potenciacao3.gif (686 bytes)

 Agora podemos
cortar os termos semelhantes que estão acima e abaixo da fração. Portanto
podemos cortar dois números 12 de cima com dois números 12 de baixo.


potenciacao4.gif (793 bytes)

 Cortando, temos:

12.12.12.12

 Veja que esta
multiplicação é igual à 124 , isto nos dá a regra para qualquer
divisão de potências com mesma base. Conserva-se a base e subtrai-se os
expoentes. Genéricamente, temos:


potenciacao5.gif (594 bytes)

 Novamente, "a"
pode ser qualquer número (real, imaginário...) que a regra ainda vale.
Estas são as duas regras mais utilizadas.



 


PROPRIEDADES OPERATÓRIAS


 


 


Produto de
potências de mesma base


 


Vamos começar com a multiplicação. Por exemplo, se temos o
número 54 multiplicado por 53:


 






















54 *53

 Esta é a
operação que queremos efetuar. Vamos abrir a potência.

(5*5*5*5)*(5*5*5)

 Agora veja
que esta multiplicação é igual à 5 elevado na potência sete.

54 *53 = 57

 Daqui nós
tiramos a regra para qualquer multiplicação de potências com mesma base.
Conserva-se a base e soma-se o expoente. Genéricamente temos:

am*an = am+n

 Esta é a
regra, "a" pode ser qualquer número (real, imaginário...) que continua
valendo. É muito importante entendê-la, pois é muito utilizada.



 


 


Divisão de potências de mesma
base


 


Agora vamos estudar a divisão de potências. Vamos fazer um
exemplo, 126 divididos por 122 . Veja a tabela abaixo:


 



























potenciacao2.gif (450 bytes)

 Esta é a divisão
que queremos efetuar. Vamos novamente abrir a potência.


potenciacao3.gif (686 bytes)

 Agora podemos
cortar os termos semelhantes que estão acima e abaixo da fração. Portanto
podemos cortar dois números 12 de cima com dois números 12 de baixo.


potenciacao4.gif (793 bytes)

 Cortando, temos:

12.12.12.12

 Veja que esta
multiplicação é igual à 124 , isto nos dá a regra para qualquer
divisão de potências com mesma base. Conserva-se a base e subtrai-se os
expoentes. Genéricamente, temos:


potenciacao5.gif (594 bytes)

 Novamente, "a"
pode ser qualquer número (real, imaginário...) que a regra ainda vale.
Estas são as duas regras mais utilizadas.



 


 


Potência de potência


 


    Já vimos as principais propriedades de operações.
Agora vamos ver quando tivermos uma potência de um número que já tem uma
potência. Veja o exemplo:


(42)3


 


O que devemos fazer? Vamos desenvolver este exemplo:


 

























(42)3

 Vamos abrir a
potência de dentro do parênteses

(4.4)3

 Agora a potência
fora do parênteses diz que devemos multiplicar o que tem dentro do
parênteses três vezes,

(4.4).(4.4).(4.4)

 E isso nos dá a
potência 46. E agora tiramos outra regra para potências.

(42)3
=42*3 =46

 Generalizando,
ficamos com:


potenciacao6.gif (556 bytes)







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