sábado, 20 de outubro de 2007

Divisão Proporcional







Divisão Proporcional





Divisão Proporcional - Regra de
Sociedade


 



   
Divisão em duas partes diretamente proporcionais


 



    Para decompor um número M em
duas partes A e B diretamente proporcionais a P e Q, montamos um sistema com
duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A + B = M,
mas:



 











divisao.gif (449 bytes)





 


    A solução segue das propriedades das proporções:


 










divisao1.gif (843 bytes)




 


 O valor de K é que proporciona a solução pois:


A = K.P  e  B = K.Q


  


  Exemplo:  Para
decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3,
montaremos o sistema de modo que A + B = 100, cuja solução segue de:


 










divisao2.gif (760 bytes)




 


    Segue que A = 40 e B = 60.


Exemplo:
Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a
diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A - B = 60 e
escrever:


 









divisao3.gif (725 bytes)




 


Segue que A = 96 e B = 36.


 


 


 



 
Divisão em várias partes
diretamente proporcionais


   


Para decompor um número M em partes X1, X2,
..., Xn diretamente proporcionais a P1, P2,
..., Pn, deve-se montar um sistema com n equações e n
incógnitas, sendo as somas X1 + X2 + ... + Xn
= M e P1 + P2 + ... + Pn =
P.


 










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     A solução segue das propriedades das proporções:



 










divisao6.gif (1398 bytes)




 


   
Exemplo:

Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a
2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A + B
+ C = 120 e 2 + 4 + 6 = P. Assim:



 










divisao7.gif (903 bytes)




 


logo A = 20, B = 40 e C = 60.



 



   Exemplo:
Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A
+ 3B - 4C = 120.



 



A solução segue das propriedades das proporções:



 










divisao8.gif (1105 bytes)




 


logo A = -30, B = -60 e C = -90. Também existem proporções
com números negativos!


Divisão em n partes direta e inversamente
proporcionais


 


    Para decompor um número M em n partes X1,
X2, ..., Xn diretamente proporcionais a P1,
P2, ..., Pn e inversamente proporcionais a Q1,
Q2, ..., Qn, basta decompor este número M em
n partes X1, X2, ..., Xn
diretamente proporcionais a P1/Q1, P2/Q2,
..., Pn/Qn.


 


    A montagem do sistema com n equações e
n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn
= M e além disso:


 










divisao19.gif (990 bytes)




 


     A solução segue das propriedades das proporções:


 










divisao20.gif (1711 bytes)




 


    Exemplo: Para decompor
o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e
inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações
e 3 incógnitas de forma de A + B + C = 115 e tal que:



 










divisao21.gif (1243 bytes)




 


    Logo A=(1/4).100=25, B=(2/5).100=40 e C=(3/6).100=50.


 


   Exemplo:
Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente
proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A + 3B - 4C = 10.


    A montagem do problema fica na forma:


 










divisao22.gif (1366 bytes)




 


    A solução é A = 50/69, B = 250/69 e C = 40/69.


 


 


 


Regra de Sociedade


 


    Regra de sociedade é um procedimento matemático que
indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuízo) de uma
sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e
também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados
por: C1, C2, ..., Cn e os
respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por T1,
T2, ..., Tn.


 


    Definiremos o peso Pk (k = 1,2,...,n)
de cada participante como o produto:


Pk = Ck . Tk


    E indicaremos o capital total como a soma dos capitais
participantes:


C = C1 + C2 + ... + Cn


 


    A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de
decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos P1,
P2, ..., Pn.


 


   Exemplo:
Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A
entrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou
com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um
capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode
ser um lucro ou um prejuízo) da empresa após um certo período posterior, foi de
R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?


 


    Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para
não termos muitos zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:


 


P1=50x40=2000;  P2=60x30=1800; P3=30x40=1200


 


    A montagem do problema estabelece que A + B + C = 25000 e
além disso:


 










divisao23.gif (701 bytes)




 


    A solução segue das propriedades das proporções:


 










divisao24.gif (1143 bytes)




 


    A participação de cada sócio é X = 5.(2000) = 10000, Y =
5.(1800) = 9000 e Z = 5.(1200) = 6000.


 






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