sábado, 20 de outubro de 2007

logaritimo







Entenda os Logaritmos










 

Entenda os Logaritmos



 


Definição


 


   Sejam os números reais a e b, com a1
sendo a > 0 e b > 0.


 


   Denomina-se logaritmo de b na base
a o número x tal que: ax = b. O
logaritmo x é representado da seguinte maneira:


 







exercicio_244.GIF (1426 bytes)

 


    que lê-se: "logaritmo de b na
base a é igual a x" ou, ainda, "log de
b na base a é igual a x".



 




a = base do logaritmo


b = logaritmando ou antilogaritmo


x = logaritmo


 



 


 


Conseqüências
da Definição


 


    Sendo b > 0, a > 0 e a 1
e m um número real qualquer, temos a seguir algumas conseqüências da
definição de logaritmo:


 
exercicio_245.GIF (2284 bytes)


 


 




Propriedades operatórias dos logaritmos


 


1)
Logaritmo do produto:

exercicio_246.GIF (1249 bytes)
(a > 0, a 1, x > 0 e y > 0)


 


2) Logaritmo do
quociente:

exercicio_247.GIF (1427 bytes)
(a > 0, a 1, x > 0 e y > 0)


 


 


3) Logaritmo da
potência:

exercicio_248.GIF (1143 bytes)

(a > 0, a 1, x > 0 e m

)


 


 


4) Logaritmo do
inverso:

exercicio_256.gif (1347 bytes)

(a > 0, a 1 e c 0)


 


 


5)
Logaritmo da raiz:  

exercicio_257.gif (1288 bytes)
(a
> 0, a 1 e n 0)


 


 Caso particular:
como exercicio_249.GIF (990 bytes),
temos:


 


 exercicio_250.GIF (1424 bytes)


Cologaritmo



 


    Chamamos de cologaritmo de um
número positivo b numa base a (a > 0, a
1) e indicamos cologa b o logaritmo inverso desse
número b na base a



exercicio_251.GIF (1219 bytes) (a > 0, a
1 e b > 0)


 



exercicio_252.GIF (1595 bytes)



exercicio_253.GIF (1147 bytes)


 


 




Mudança de base


 


    Em algumas situações podemos encontrar
no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades
logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer,
antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base
conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a
mudança de uma base a para uma outra base b usa-se:


 



exercicio_254.GIF (2284 bytes)(a
> 0, a 1,  b > 0 e x > 0)


 


 



Logaritmo
neperiano


 


    O conjunto dos logaritmos de todos
números reais positivos em uma determinada base a, dá-se o nome
de Sistema de Logaritmo de base a.


    Os sistemas de logaritmos mais usados são
os de base 10, denominado sistema de logaritmos decimais.


    Existe também o logaritmo de base
e,
conhecido como sistema de logaritmos neperiano, onde
e
é o número de Neper e vale aproximadamente 2,71828.


    O logaritmo
decimal de um número real positivo b qualquer é:
log.gif (403 bytes)
e, normalmente é,
representado simplesmente por:
log1.gif (359 bytes)


    Já o logaritmo neperiano de um número
real positivo b qualqur é: log2.gif (390 bytes),
sendo normalmente representado por:
log3.gif (339 bytes)


 


 



Logaritmos decimais



 


    Como vimos anteriormente, os logaritmos
decimais são aqueles cuja base é 10.


    Observe que:


    log 1 = 0, pois 100 = 1


    log 10 = 1, pois 101 = 10


    log 100 = 2, pois 102 = 100


    log 1000 = 3, pois 103 = 1000


    Então, podemos escrever que log 10m
= m


 


    Quando o logaritmando não é uma potência
inteira de 10, então seu logaritmo decimal também não será um número inteiro e,
neste caso, seu cálculo pode ser feito com a ajuda de uma tabela de logaritmos
ou de uma calculadora financeira.


Exemplos:


log 2 = 0,3010


log 30 = 1,4771


log 600 = 2,7782


 



Tábua de
logaritmos (base 10)

















































































































































1 0 11 1,0414 21 1,3222 31 1,4914 41 1,6128 51 1,7076
2 0,3010 12 1,0792 22 1,3424 32 1,5051 42 1,6232 52 1,7160
3 0,4771 13 1,1139 23 1,3617 33 1,5185 43 1,6335 53 1,7243
4 0,6021 14 1,1461 24 1,3802 34 1,5315 44 1,6435 54 1,7324
5 0,6990 15 1,1761 25 1,3979 35 1,5441 45 1,6532 55 1,7404
6 0,7782 16 1,2041 26 1,4150 36 1,5563 46 1,6628 56 1,7482
7 0,8451 17 1,2304 27 1,4314 37 1,5682 47 1,6721 57 1,7559
8 0,9031 18 1,2553 28 1,4472 38 1,5798 48 1,6812 58 1,7634
9 0,9542 19 1,2788 29 1,4624 39 1,5911 49 1,6902 59 1,7709
10 1 20 1,3010 30 1,4771 40 1,6021 50 1,6990 60 1,7782







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