Progressões

Progressões: Qual é o Próximo Número?

 

Progressões
Aritméticas

   

Chamamos de progressão aritmética
(P.A.) toda sucessão de números na qual cada termo, a partir do segundo, é
obtido somando-se ao anterior uma constante denominada razão e indicada por
r.

a₂ = a₁ + r

a₃ = a₂ + r ou a₃
= a₁ + 2r

a₄ = a₃ + r ou a₄
= a₁ + 3r

 

Termo Geral

   A equação do termo geral
permite encontar o termo da progressão que corresponde à posição determinada.

a_n = a₁ + (n - 1) . r

 

Classificação

   

As progressões aritméticas podem
ser classificadas como:

    - crescentes:
progressões em que a razão é positiva e, por isso, cada termo, a partir do
segundo, é maior do que seu anterior.

r >
0

Exemplo: (3,
6, 9, 12). A razão nesse caso é 3.

    - decrescentes:
progressões em que a razão é negativa e, por isso, cada termo, a partir do
segundo, é menor do que seu anterior.

r <
0

Exemplo: (16,
12, 8, 4). A razão nesse caso é -4.

    - constantes:
progressões em que a razão é nula e, por isso, cada termo, a partir do segundo,
é igual ao que seu anterior. Neste caso, todos os termos da P.A. são iguais.

r =
0

Exemplo: (-1,
-1, -1, -1). Note que -1 - (-1) = 0

 

 

Propriedade
Característica da P.A.

    As progressões
aritméticas possuem este nome graças à seguinte característica de sua formação:

   Tomando-se 3 termos
consecutivos de uma P.A., o termo do meio é a média aritmética dos outros dois
termos.

  

 

Soma dos n
primeiros termos de uma P.A.

 

    Em uma P.A., 2 termos são
chamados equidistantesdos extremos quando o número de termos que precede um dele
é igual ao número de termos que segue o outro. A soma entre dois termos
equidistantes é constante em ma P.A.

   Se a progressão possui
um número n par de termos, ela possui n / 2 pares de termos
equidistantes. Cada par de termos equidistantes possui valor constante e igual a
:

(a₁ + a_n)

 

   Portanto a soma dos
termos da P.A. que possui um número par de termos é :

   Se a progressão possui
um número n ímpar de termos, ela possui ( n
- 1) / 2 pares de termos equidistantes e um termo central com
valor igual à metade da soma de 2 termos equidistantes, conforme a própria
propriedade característica da P.A. Cada par de termos equidistantes possui valor
constante e igual a :

(a₁ + a_n)

 

   Portanto a soma dos
termos da P.A. que possui um número ímpar de termos é :

=

 

   Deste modo, podemos
afirmar que para uma P.A. qualquer, a soma de seus termos é igual a:

 

Exemplos:

 

1) Determine a quantidade de
termos de uma P.A de razão 6, em que o primeiro termo vale 8 e o último termo
vale 128.

 

Solução:

Fórmula da P.A: a_n = a₁
+ (n - 1) . r

Agora basta substituir na fórmula com os
dados que temos:

128 = 8 + (n - 1). 6

128 - 8 = (n - 1) . 6

120 = (n - 1) . 6

n - 1 = 20

n = 21

Portanto, a P.A tem 21 termos.

 

2) Qual é
a soma dos 20 primeiros termos da P.A. (-8; -4; 0; 4; ...)?

 

Solução:

a₁ = -8

n = 20

r = 4-0 = 4

Primeiro temos que descubrir o valor do a₂₀:

a₂₀ = a1 + 19 . r

a₂₀ = -8 + 19 . 4

a₂₀ = 68

Agora, basta substituirmos os termos que temos na fórmula:

 

Progressões Geométricas

   

Podemos definir progressão
geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais
obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma
quantidade fixa q, chamada razão.

 

    Podemos calcular a
razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo
entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...),
q = 2.

 

 

Cálculo do termo
geral

 

Numa progressão geométrica de
razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro
termo, da seguinte maneira:   

 

a1	a2	a3	...	a20	...	an	...
a1	a1.q	a1.q2	...	a1.q19		a1.qn-1	...

 

    Assim, podemos deduzir
a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer
progressão geométrica.

 

an = a1 . qn-1

 

  Portanto, se por
exemplo, a₁ = 2 e q = 1/2, então:

 

an = 2 . (1/2)n-1

 

  Se quisermos calcular o
valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

 

a5 = 2 . (1/2)51 = 2 . (1/2)4 = 1/8

 

      A semelhança entre
as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém,
encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição.
Enquanto as progressões aritméticas são formadas somando-se uma mesma quantidade
de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela
multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

 

    Observe que, quando
uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo
seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao
contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0,
seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a
progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da
razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior
será a velocidade de crescimento e vice-versa.

 

Propriedade
Característica da P.G.

      Tomando-se 3 termos
consecutivos de uma P.G., o termo do meio é a média aritmética dos outros dois
termos (anterior e posterior).

 

Soma dos n primeiros termos
de uma PG

 

Seja a PG (a₁, a₂,
a₃, a₄, ... , a_n , ...) . Para o cálculo da
soma dos n primeiros termos S_n ,
vamos considerar o que segue:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ +
... + a_n-1 + a_n

 

    Multiplicando ambos os
membros pela razão q vem:

S_n . q = a₁ . q + a₂ .q + .... + a_n-1
. q + a_n .q

 

    Conforme a definição de PG,
podemos reescrever a expressão como:

S_n . q = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n
. q

 

    Observe que a₂ + a₃
+ ... + a_n é igual a S_n - a₁ . Logo,
substituindo, vem:

S_n . q = S_n - a₁ + a_n . q

 

    Daí, simplificando
convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

 

 

    Se substituirmos a_n
= a₁.q^n-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula
da soma, ou seja:

 

 

Exemplo:

    Calcule a soma dos 10
primeiros termos da PG (1,2,4,8,...).

Temos:

 

Observe que neste caso a₁
= 1.

 

 

Soma dos termos de
uma PG decrescente e ilimitada

 

    Considere uma PG ILIMITADA
(infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no
limite teremos a_n = 0. Substituindo na fórmula anterior,
encontraremos:

 

Exemplo:

    Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100

    O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2.
Logo, substituindo na fórmula, vem:

    Dessa equação encontramos
como resposta  x = 50.

 

Exemplos:

 

1) Calcular o
número de termos de uma P.G. em que o primeiro termo é 486, o último termo é 2/9
e a razão é 1/3.

Solução:

 

2) Calcular a soma dos oito primeiros termos da P.G. (3, 6,
12, ...).

Solução: