As Importantes Funções
O conceito de função é um dos mais
importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: Toda
vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça
corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único
elemento do segundo, ocorre uma função.
O uso de funções pode ser encontrado
em diversos assuntos. Por exemplo, na tabela de preços de uma loja, a cada
produto corresponde um determinado preço. Outro exemplo seria o preço a ser pago
numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida.
Observe, por exemplo, o diagrama das
relações abaixo:
A relação acima não é uma função, pois
existe o elemento 1 no conjunto A, que não está associado a nenhum
elemento do conjunto B.
A relação acima também não é uma função,
pois existe o elemento 4 no conjunto A, que está associado a mais
de um elemento do conjunto B.
Agora preste atenção no próximo exemplo:
A relação acima é uma função, pois todo
elemento do conjunto A, está associado a somente um elemento do
conjunto B.
De um modo geral, dados dois |
DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
O domínio de uma função é
sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D = A. Se um elemento x
A estiver associado a um elemento
y B, dizemos que
y é a imagem de x (indica-se y = f(x) e lê-se "y é
igual a f de x").
Exemplo:
se f é uma função de IN em IN (isto significa que o
domínio e o contradomínio são os números naturais) definida por y = x + 2.
Então temos que:
- A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1) =
1 + 2 = 3; - A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2) =
2 + 2 = 4;
De modo geral, a imagem de x
através de f é x + 2, ou seja: f(x) = x + 2.
Numa função f de A em
B, os elementos de B que são imagens dos elementos de A
através da aplicação de f formam o conjunto imagem de f.
Com base nos diagramas acima,
concluímos que existem 2 condições para uma relação f seja uma
função:
1º) O domínio deve |
2°) De cada elemento |
Observações:
- Como x e y têm seus valores variando nos
conjuntos A e B, recebem o nome de variáveis. - A variável x é chamada variável independente
e a variável y, variável dependente, pois para obter o valor de
y dependemos de um valor de x. - Uma função f fica definida quando são dados seu
domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de
associação y = f(x).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1. Considere a função f: A à B representada pelo
diagrama a seguir:
Determine:
a) o domínio (D) de f;
b) f(1), f(-3), f(3) e f(2);
c) o conjunto imagem (Im) de f;
d) a lei de associação
Resolução:
a) O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja,
D = A.
b) f(1) = 1, f(-3) = 9, f(3) = 9 e f(2) = 4.
c) O conjunto imagem é formado por todas imagens dos
elementos do domínio, portanto: Im = {1,4,9}.
d) Como 12 = 1, (-3)2 = 9, 32
= 9 e 22 = 4, temos y = x2.
2. Dada a função f: IR a IR (ou seja, o domínio e o
contradomínio são os números reais) definida por f(x) = x2 - 5x + 6,
calcule:
a) f(2), f(3) e f(0);
b) o valor de x cuja imagem vale 2.
Resolução:
a) f(2)= 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0
f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0
f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6
b) Calcular o valor de x cuja imagem vale
2 eqüivale a resolver a equação f(x) = 2, ou seja, x2 - 5x + 6 = 2.
Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos as raízes 1 e 4. Portanto os
valores de x que têm imagem 2 são 1 e 4.
Obtenção do
Domínio de uma Função
- O domínio é o subconjunto de IR no qual todas as
operações indicadas em y = f(x) são possíveis.
Vamos ver alguns exemplos:
Agora o denominador: Como 3 - x está
dentro da raiz devemos ter 3-x0,
mas além disso ele também está no denominador, portanto devemos ter 3-x0.
Juntando as duas condições devemos ter: 3 - x > 0, ou seja, x < 3 (condição 2).
Resolvendo o sistema formado pelas
condições 1 e 2 temos:
Devemos considerar o intervalo que
satisfaz as duas condições ao mesmo tempo.
Portanto, D = {x
IR | 2
x < 3}.
Construção do
Gráfico Cartesiano de uma Função
Para construir o gráfico de uma função
f, basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando a
sentença matemática que define a função, calcular os correspondentes valores da
variável y. Por exemplo, vamos construir o gráfico da função definida por
y = x/2. Escolhemos alguns valores para o domínio. Por exemplo D = {2,4,6,8}, e
agora calculamos os respectivos valores de y. Assim temos:
Então montamos a seguinte tabela: | ||
x | y | |
x=2 y=2/2 = 1 | 2 | 1 |
x=4 y=4/2 = 2 | 4 | 2 |
x=6 y=6/2 = 3 | 6 | 3 |
x=8 y=8/2 = 4 | 8 | 4 |
Identificamos os pontos encontrados no plano
cartesiano:
O gráfico da função será uma reta que
passará pelos quatro pontos encontrados. Basta traçar a reta, e o gráfico estará
construído.
Obs: para
desenhar o gráfico de uma reta são necessários apenas dois pontos. No exemplo
acima escolhemos 4 pontos, mas bastaria escolher dois elementos do domínio,
encontrar suas imagens, e logo após traçar a reta que passa por esses 2 pontos.
Raízes de uma Função
Dada uma função y = f(x), os valores
de x para os quais f(x) = 0 são chamados raízes de uma função. No
gráfico cartesiano da função, as raízes são abscissas dos pontos onde o gráfico
corta o eixo horizontal. Observe o gráfico abaixo:
No gráfico acima temos: f(x1)
= 0, f(x2) = 0 e f(x3) = 0.
Portanto x1, x2
e x3 são raízes da função.
Propriedades de uma Função
Essas são algumas propriedades que
caracterizam uma função f: A
B:
a) Função sobrejetora:
Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for
igual ao contradomínio, isto é, se Im = B. Em outras palavras, não pode sobrar
elementos no conjunto B sem receber flechas.
b) Função Injetora: A função
é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, ou seja,
dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto não pode haver nenhum
elemento no conjunto B que receba duas flechas. Por exemplo, a função f: IRIR
definida por f(x) = 3x é injetora pois se x1x2
então 3x13x2,
portanto f(x1)f(x2).
c) Função Bijetora: Uma
função é bijetora quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Por
exemplo, a função f: IRIR
definida por y = 3x é injetora, como vimos no exemplo anterior. Ela também é
sobrejetora, pois Im = B = IR. Logo, esta função é bijetora.
Já a função f: ININ
definida por y = x+5 não é sobrejetora, pois Im = {5,6,7,8,...} e o
contradomínio CD = IN, mas é injetora, já que valores diferentes de x têm
imagens distintas. Então essa função não é bijetora.
Observe os diagramas abaixo:
| |
| |
|
Exercícios:
1) Construa o gráfico da função dada por:
f(x) = 2x + 1
Dom: [0, 4] = {x
| 0
x
4}
Solução:
x | y = f(x) = 2x + 1 |
0 | 1 |
0,5 | 2 |
1 | 3 |
2 | 4 |
2,5 | 5 |
3 | 6 |
4 | 9 |
Nesse caso, o gráfico é o conjunto de todos os
pontos (x, y), com x real de 0 a 4 e y = 2x + 1, o que nos dá o segmento
traçado.
Os pontos são ligados por uma linha contínua porque o
domínio é um intervalo de .
2) Construa o gráfico da função dada por:
f(x) = -x²
Dom:
Solução:
x | y = f(x) = -x² | (x, y) |
-2 | -4 | (-2; -4) |
-1,5 | -2,25 | (-1,5; -2,25) |
-1 | -1 | (-1; -1) |
0 | 0 | (0; 0) |
1 | -1 | (1; -1) |
1,5 | -2,25 | (1,5; -2,25) |
A curva que contém todos os pontos obtidos com y = -x²
é o gráfico da função dada. Essa curva se chama parábola.
Função exponencial
Chamamos de funções exponenciais
aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.
A função f: IRIR+
definida por f(x) = ax, com a
IR+ e a1,
é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o
conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores
que zero).
Gráfico Cartesiano da
Função Exponencial
Temos 2 casos a considerar:
è quando a > 1;
è quando 0 < a < 1.
Acompanhe os exemplos seguintes:
1) y = 2x (nesse caso, a = 2,
logo a > 1)
Atribuindo alguns valores a x e
calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o
gráfico abaixo:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
y | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 |
2) y = (1/2)x (nesse caso, a =
1/2, logo 0 < a < 1)
Atribuindo alguns valores a x e
calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico
abaixo:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
y | 4 | 2 | 1 | 1/2 | 1/4 |
Nos dois exemplos, podemos observar
que:
a) o gráfico nunca intercepta o
eixo horizontal; a função não tem raízes;
b) o gráfico corta o eixo vertical no
ponto (0,1);
c) os valores de y são
sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto
imagem é Im = IR+.
Além disso, podemos estabelecer o
seguinte:
a > 1 | 0 < a < 1 |
f(x) é crescente e Im = IR+ Para quaisquer x1 e x2 x2 > x1 |
f(x) é decrescente e Im = IR+ Para quaisquer x1 e x2 x2 > x1 |
Inequações Exponenciais
Chamamos de inequações exponenciais
toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente.
Exemplos de inequações exponenciais:
Para resolver inequações exponenciais,
devemos realizar dois passos importantes:
1º) redução dos dois membros da inequação
a potências de mesma base;
2º) aplicação da propriedade:
a > 1 | 0 < a < 1 |
am > an (as desigualdades têm mesmo sentido) | am > an (as desigualdades têm sentidos |
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
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