sábado, 20 de outubro de 2007

funçõoes







As Importantes Funções





As Importantes Funções


 



    O conceito de função é um dos mais
importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: Toda
vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça
corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único
elemento do segundo, ocorre uma função.


 


    O uso de funções pode ser encontrado
em diversos assuntos. Por exemplo, na tabela de preços de uma loja, a cada
produto corresponde um determinado preço. Outro exemplo seria o preço a ser pago
numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida.


 


    Observe, por exemplo, o diagrama das
relações abaixo:


   


 


    A relação acima não é uma função, pois
existe o elemento 1 no conjunto A, que não está associado a nenhum
elemento do conjunto B.



 


A relação acima também não é uma função,
pois existe o elemento 4 no conjunto A, que está associado a mais
de um elemento do conjunto B.


 


Agora preste atenção no próximo exemplo:



 


A relação acima é uma função, pois todo
elemento do conjunto A, está associado a somente um elemento do
conjunto B.


 









De um modo geral, dados dois
conjuntos A e B, e uma relação entre eles, dizemos que essa relação é uma
função de A em B
se e somente se, para todo x
pertence.gif (294 bytes)
A

existe um único y
pertence.gif (294 bytes)

B
de modo que x se relacione com y.


 




 


 




DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO


 


    O domínio de uma função é
sempre
o próprio conjunto de partida, ou seja, D = A. Se um elemento x
A
estiver associado a um elemento
y B, dizemos que
y é a imagem de x (indica-se y = f(x) e lê-se "y é
igual a f de x").


 


    Exemplo:
se f é uma função de IN em IN (isto significa que o
domínio e o contradomínio são os números naturais) definida por y = x + 2.
Então temos que:


 



  • A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1) =
    1 + 2 = 3;

  • A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2) =
    2 + 2 = 4;


  


  De modo geral, a imagem de x
através de f é x + 2, ou seja: f(x) = x + 2.


    Numa função f de A em
B
, os elementos de B que são imagens dos elementos de A
através da aplicação de f formam o conjunto imagem de f.


    Com base nos diagramas acima,
concluímos que existem 2 condições para uma relação f seja uma
função:


 












1º) O domínio deve
sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento
de A
é ponto de partida (início de flecha). Se tivermos um
elemento de A do qual não parta flecha, a relação não é uma função.


2°) De cada elemento
de A deve partir uma única flecha. Se de
um elemento de A partir mais de uma flecha, a relação não
é uma função.




 


 


Observações:



  • Como x e y têm seus valores variando nos
    conjuntos A e B, recebem o nome de variáveis.

  • A variável x é chamada variável independente
    e a variável y, variável dependente, pois para obter o valor de
    y dependemos de um valor de x.

  • Uma função f fica definida quando são dados seu
    domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de
    associação y = f(x).

     


 




EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:


 


1. Considere a função f: A à B representada pelo
diagrama a seguir:


 



Determine:


a) o domínio (D) de f;


b) f(1), f(-3), f(3) e f(2);


c) o conjunto imagem (Im) de f;


d) a lei de associação


 


Resolução:


a) O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja,
D = A.


b) f(1) = 1, f(-3) = 9, f(3) = 9 e f(2) = 4.


c) O conjunto imagem é formado por todas imagens dos
elementos do domínio, portanto: Im = {1,4,9}.


d) Como 12 = 1, (-3)2 = 9, 32
= 9 e 22 = 4, temos y = x2.


 


 


2. Dada a função f: IR a IR (ou seja, o domínio e o
contradomínio são os números reais) definida por f(x) = x2 - 5x + 6,
calcule:


a) f(2), f(3) e f(0);


b) o valor de x cuja imagem vale 2.


 



Resolução:


a)      f(2)= 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0



    f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0


    f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6



b) Calcular o valor de x cuja imagem vale
2 eqüivale a resolver a equação f(x) = 2, ou seja, x2 - 5x + 6 = 2.
Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos as raízes 1 e 4. Portanto os
valores de x que têm imagem 2 são 1 e 4.



Obtenção do
Domínio de uma Função


 



  • O domínio é o subconjunto de IR no qual todas as
    operações indicadas em y = f(x) são possíveis.


Vamos ver alguns exemplos:



exercicio_223.GIF (4943 bytes)


    Agora o denominador: Como 3 - x está
dentro da raiz devemos ter 3-x0,
mas além disso ele também está no denominador, portanto devemos ter 3-x0.
Juntando as duas condições devemos ter: 3 - x > 0, ou seja, x < 3 (condição 2).


 


    Resolvendo o sistema formado pelas
condições 1 e 2 temos:



 


Devemos considerar o intervalo que
satisfaz as duas condições ao mesmo tempo.


Portanto, D = {x
IR | 2
x < 3}.


 


 



Construção do
Gráfico Cartesiano de uma Função


 


    Para construir o gráfico de uma função
f, basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando a
sentença matemática que define a função, calcular os correspondentes valores da
variável y. Por exemplo, vamos construir o gráfico da função definida por
y = x/2. Escolhemos alguns valores para o domínio. Por exemplo D = {2,4,6,8}, e
agora calculamos os respectivos valores de y. Assim temos:


 




 




































Então montamos a
seguinte tabela:
 

x



y


x=2
y=2/2 = 1


2



1


x=4
y=4/2 = 2


4



2


x=6
y=6/2 = 3


6



3


x=8
y=8/2 = 4


8



4




 


            Identificamos os pontos encontrados no plano
cartesiano:


           


 


    O gráfico da função será uma reta que
passará pelos quatro pontos encontrados. Basta traçar a reta, e o gráfico estará
construído.


    Obs: para
desenhar o gráfico de uma reta são necessários apenas dois pontos. No exemplo
acima escolhemos 4 pontos, mas bastaria escolher dois elementos do domínio,
encontrar suas imagens, e logo após traçar a reta que passa por esses 2 pontos.


 


 



Raízes de uma Função


 


    Dada uma função y = f(x), os valores
de x para os quais f(x) = 0 são chamados raízes de uma função. No
gráfico cartesiano da função, as raízes são abscissas dos pontos onde o gráfico
corta o eixo horizontal. Observe o gráfico abaixo:



    No gráfico acima temos: f(x1)
= 0, f(x2) = 0 e f(x3) = 0.


    Portanto x1, x2
e x3 são raízes da função.


 



Propriedades de uma Função


   


    Essas são algumas propriedades que
caracterizam uma função f: A

B
:


 



a) Função sobrejetora:
Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for
igual ao contradomínio, isto é, se Im = B. Em outras palavras, não pode sobrar
elementos no conjunto B sem receber flechas.


 



b) Função Injetora: A função
é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, ou seja,
dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto não pode haver nenhum
elemento no conjunto B que receba duas flechas. Por exemplo, a função f: IR
IR
definida por f(x) = 3x é injetora pois se x1x2
então 3x13x2,
portanto f(x1)f(x2).


 



c) Função Bijetora: Uma
função é bijetora quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Por
exemplo, a função f: IR
IR
definida por y = 3x é injetora, como vimos no exemplo anterior. Ela também é
sobrejetora, pois Im = B = IR. Logo, esta função é bijetora.


 


    Já a função f: ININ
definida por y = x+5 não é sobrejetora, pois Im = {5,6,7,8,...} e o
contradomínio CD = IN, mas é injetora, já que valores diferentes de x têm
imagens distintas. Então essa função não é bijetora.


 


Observe os diagramas abaixo:


















  • Essa função é sobrejetora, pois não sobram
    elementos em B.

  • Essa função não é injetora, pois existem dois
    elementos com mesma imagem.

  • Essa função não é bijetora, pois não é injetora.






  • Essa função é injetora, pois elementos de B
    são "flechados" só uma vez.

  • Essa função não é sobrejetora, pois existem
    elementos sobrando em B.

  • Essa função não é bijetora, pois não é sobrejetora.






  • Essa função é injetora, pois elementos de B
    são "flechados" só uma vez.

  • Essa função é sobrejetora, pois não existem
    elementos sobrando em B.

  • A função é bijetora, pois é injetora e sobrejetora.



 


Exercícios:


1) Construa o gráfico da função dada por:


f(x) = 2x + 1


Dom: [0, 4] = {x
pertence.gif (294 bytes)

reais.gif (870 bytes)
| 0
menor_ou_igual.gif (295 bytes)
x
menor_ou_igual.gif (295 bytes)
4}


 


Solução:




































x

y = f(x) = 2x + 1
0 1
0,5 2
1 3
2 4
2,5 5
3 6
4 9

 


grafico.GIF (2791 bytes)


    Nesse caso, o gráfico é o conjunto de todos os
pontos (x, y), com x real de 0 a 4 e y = 2x + 1, o que nos dá o segmento
traçado.


    Os pontos são ligados por uma linha contínua porque o
domínio é um intervalo de reais.gif (870 bytes).


 



2) Construa o gráfico da função dada por:


f(x) = -x²


Dom:
reais.gif (870 bytes)

se_entao.gif (297 bytes)

reais.gif (870 bytes)


 


Solução:







































x

y = f(x) = -x²

(x, y)
-2 -4 (-2; -4)
-1,5 -2,25 (-1,5;
-2,25)
-1 -1 (-1; -1)
0 0 (0; 0)
1 -1 (1; -1)
1,5 -2,25 (1,5;
-2,25)

 


grafico2.GIF (3009 bytes)


    A curva que contém todos os pontos obtidos com y = -x²
é o gráfico da função dada. Essa curva se chama parábola.


Função exponencial


 


    Chamamos de funções exponenciais
aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.


    A função f: IRIR+
definida por f(x) = ax, com a
IR+ e a1,
é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o
conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores
que zero).


 


 


Gráfico Cartesiano da
Função Exponencial



 


Temos 2 casos a considerar:


è quando a > 1;


è quando 0 < a < 1.


 


Acompanhe os exemplos seguintes:


1) y = 2x (nesse caso, a = 2,
logo a > 1)



    Atribuindo alguns valores a x e
    calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o
    gráfico abaixo:






















    x
    -2 -1 0 1 2

    y
    1/4 1/2 1 2 4



     




 


 


2) y = (1/2)x (nesse caso, a =
1/2, logo 0 < a < 1)


    Atribuindo alguns valores a x e
calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico
abaixo:



 






















x
-2 -1 0 1 2

y
4 2 1 1/2 1/4



 


 


 



 


    Nos dois exemplos, podemos observar
que:


a) o gráfico nunca intercepta o
eixo horizontal; a função não tem raízes;


b) o gráfico corta o eixo vertical no
ponto (0,1);


c) os valores de y são
sempre positivos
(potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto
imagem é Im = IR+.


 


 


    Além disso, podemos estabelecer o
seguinte:














a > 1


0 < a < 1



grafico3.GIF (2251 bytes)


f(x) é crescente e Im = IR+


Para quaisquer x1 e x2
do domínio:


x2 > x1
y2 > y1
(as desigualdades têm mesmo sentido)



grafico4.GIF (2341 bytes)


f(x) é decrescente e Im = IR+


Para quaisquer x1 e x2
do domínio:


x2 > x1
y2 < y1
(as desigualdades têm sentidos diferentes)




 


 


Inequações Exponenciais



    Chamamos de inequações exponenciais
toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente.


    Exemplos de inequações exponenciais:


   
exercicio_224.gif (3387 bytes)


 


    Para resolver inequações exponenciais,
devemos realizar dois passos importantes:


 


1º) redução dos dois membros da inequação
a potências de mesma base;


2º) aplicação da propriedade:


 












a > 1


0 < a < 1


am > an
m > n


(as desigualdades têm mesmo sentido)


am > an
m < n



(as desigualdades têm sentidos
diferentes)


 



EXERCÍCIO RESOLVIDO:



exercicio_225.gif (5091 bytes)


 






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