As Equações resolvem os seus problemas
Neste tópico veremos os principais tipos de equações que você poderá
utilizar para resolver diversos tipos de problemas matemáticos.
Equações do 1º grau
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". |
Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3 (Não é igualdade)
(não é sentença aberta, nem igualdade)
A equação geral do primeiro grau:
ax+b = 0
onde a e b são números conhecidos e
a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos
dois lados, obtemos:
ax = -b
dividindo agora por a (dos dois lados), temos:
Considera a equação 2x - 8 = 3x -10
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita
significa " desconhecida".
Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o
sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.
Equação do 1º grau na incógnita x |
Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação
Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.
Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto
universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma
equação.
Observe este outro exemplo:
- Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25
O conjunto dos números inteiros é o conjunto universo da
equação.
Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto
verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.
Daí concluímos que:
Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que a variável pode assumir. Indica-se por U. |
Conjunto verdade é o conjunto dos valores |
Observações:
- O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.
- Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto
universo o conjunto dos números racionais.
- O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode
ser indicado por S.
Raízes de uma equação
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes
da equação.
Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à
seguinte seqüência:
- Substituir a incógnita por esse número.
- Determinar o valor de cada membro da equação.
- Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado
é raiz da equação.
Exemplos:
Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes
das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.
- Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.
Para x = 0 na equação x
- 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F)
Para x = 1 na equação x
- 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F)
Para x = 2 na equação x
- 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V)
Para x = 3 na equação x
- 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)
Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V =
{2}.
- Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.
Para x = -1 na equação 2x
- 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F)
Para x = 0 na equação 2x
- 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F)
Para x = 1 na equação 2x
- 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F)
Para x = 2 na equação 2x
- 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F)
A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V =
Ø.
Resolução de uma equação
Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações que
nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem,
finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes
da equação. Resumindo:
Resolver uma equação significa determinar o seu |
Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar
os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo).
Exemplos:
- Sendo
, resolva a equação .
MMC (4, 6) = 12
-9x = 10
=>
Multiplicador por (-1)
9x = -10
Como
, então .
- Sendo
,
resolva a equação 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x
- 4).
Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:
2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8
2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3
3x = -1
Como
, então
Equações impossíveis e identidades
- Sendo
,
considere a seguinte equação: 2 . (6x - 4) = 3 . (4x - 1).
Observe, agora, a sua resolução:
2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 1
12x - 8 = 12x - 3
12x - 12x = - 3 + 8
0 . x = 5
Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a
equação é impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø.
Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando a
= 0 e
- Sendo
,
considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x.
Observe a sua resolução:
-3x + 3x = 2 - 10 + 8
0 . x = 0
Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a
equação possui infinitas soluções.
Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna
a equação verdadeira, são denominadas identidades.
Pares ordenados
Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números
racionais, numa certa ordem.
Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:
Assim:
Indicamos por (x, y) o |
- Observações
- De um modo geral, sendo x e y dois números racionais
quaisquer, temos:
.
Exemplo:
2. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s)
são iguais somente se x = r e y = s.
Representação gráfica de um Par Ordenado
Podemos representar um par ordenado através de um ponto num plano. Esse
ponto é chamado de imagem do par ordenado.
Coordenadas
Cartesianas
Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas.
Exemplos:
A (3, 5)
3 e 5 são as
coordenadas do ponto A.
Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada,
o 2º número desse par. Assim:
Plano Cartesiano
Representamos um par ordenado num plano cartesiano.
Esse plano é formado por duas retas, x e y perpendiculares
entre si.
A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x).
A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).
O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que
corresponde ao par ordenado (0, 0).
Localização de um
Ponto
Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a
seqüência prática:
- O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.
- O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.
- No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses
pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo: - Localize o ponto (4, 3).
Produto Cartesiano
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}.
Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos
os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º
pertença ao conjunto B.
Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3,
4)}
Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B,
e é indicado por:
x
A e y
B
Logo:
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, denominamos
produtos cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x,
y) onde
x
A e y
B
Equações de primeiro grau
(com duas variáveis)
Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y.
Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, que pode ser
transformada numa equação equivalente mais simples. Assim:
2x + 3y = 5 + 6
2x + 3y = 11
Equação do 1º grau na
forma ax + by = c .
Denominamos equação de 1º grau com duas variáveis, x e y, a toda equação que pode ser reproduzida na forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, simultaneamente. |
Na equação ax + by = c,
denominamos:
x + y - variáveis ou incógnita
a - coeficiente de x
b - coeficiente de y
c - termo independente
Exemplos:
x + y = 30
2x + 3y = 15
x - 4y = 10
-3x - 7y = -48
2x- 3y = 0
x - y = 8
Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis
Quais o valores de x e y que tornam a sentença x - 2y
= 4 verdadeira?
Observe os pares abaixo:
x = 6, y = 1
x - 2y = 4
6
- 2 .
1
= 4
6 - 2 = 4
4 = 4 (V)
x = 8, y = 2
x - 2y = 4
8
- 2 .2
= 4
8 - 4 = 4
4 = 4 (V)
x = -2, y = -3
x - 2y = 4
-2
- 2 . (-3)= 4
-2 + 6 = 4
4 = 4 (V)
Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x
- 2y = 4.
Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa
equação.
Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções
- infinitos (x, y) - , sendo, portanto, seu conjunto universo
.
Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para
uma das variáveis, calculando a seguir o valor da outra.
Exemplo:
- Determine uma solução para a equação 3x - y = 8.
Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y.
Assim:
3x - y = 8
3 . (
1)- y = 8
3 - y = 8
-y = 5
Multiplicamos por -1
y = -5
O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação.
V = {(1, -5)}
Resumindo:
Um par ordenado (r, s) |
Gráfico de uma equação de 1º grau com duas
variáveis
Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas
soluções.
Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x,
y).
Dispondo de dois pares ordenados de uma equação, podemos representá-los
graficamente em um plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o
conjunto das solução dessa equação. Exemplo:
- Construir um gráfico da equação x + y = 4.
Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam
essa equação.
1º par: A (4, 0)
2º par: B (0, 4)
A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.
Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta
r, que contém todos os pontos soluções da equação.
A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.
Sistemas de Equações
Considere o seguinte problema:
Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e
y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos.
Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?
Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber:
x + y = 25 (total de arremessos certo)
2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)
Essas equações contêm um sistema de equações.
Costuma-se indicar o sistema usando chave.
O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é
chamado solução do sistema.
Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única
solução.
Resolução de Sistemas
A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em
determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas
equações.
Estudaremos a seguir alguns métodos:
Método de substituição
Solução
- determinamos o valor de x na 1ª equação.
x = 4 - y
- Substituímos esse valor na 2ª equação.
2 . (4 - y) - 3y = 3
- Resolvemos a equação formada.
8 - 2y -3y = 3
-2y -3y = 3
-5y = 5
Multiplicamos por -1
5y = -5
y = 5 / 5
y = 1
- Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações,
determinando x.
x + 1 = 4
x = 4 - 1
x = 3
- A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).
V = {(3, 1)}
Método da adição
Sendo U =
,
observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição.
Resolva o sistema abaixo:
Solução
- Adicionamos membros a membros as equações:
2x = 16
x = 8
- Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações,
determinado y:
8
+ y = 10
y = 10 - 8
y = 2
A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)
V = {(8, 2)}
Equações do 2º grau
Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da
forma:
ax2 + bx + c = 0; a, b, |
Exemplo:
- x2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a =
- 6x2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a =
- 7x2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a =
- x2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a =
1, b = -5 e c = 6.
6, b = -1 e c = -1.
7, b = -1 e c = 0.
1, b = 0 e c = -36.
Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma
normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita
x) chamamos a, b e c de coeficientes.
a é sempre o
coeficiente de x²;
b é sempre o
coeficiente de x,
c é o coeficiente ou
termo independente.
Equação completas e incompletas
Uma equação do 2º grau é completa quando b e c
são diferentes de zero. Exemplos:
x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 =
0 são equações completas.
Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou
c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:
|
|
|
Raízes de uma equação do 2º grau
Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita |
O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto
verdade ou conjunto solução. Exemplos:
- Dentre os elementos do conjuntos A= { -1, 0, 1, 2}, quais são raízes da
equação
x² - x - 2 = 0 ?
Solução
Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos
elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.
Para x = -1 | (-1)² - (-1) - 2 = 0 1 + 1 - 2 = 0 0 = 0 | (V) |
Para x = 0 | 0² - 0 - 2 = 0 0 - 0 -2 = 0 -2 = 0 | (F) |
Para x = 1 | 1² - 1 - 2 = 0 1 - 1 - 2 = 0 -2 = 0 | (F) |
Para x = 2 | 2² - 2 - 2 = 0 4 - 2 - 2 = 0 0 = 0 | (V) |
Logo, -1 e 2 são raízes da equação.
- Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x²
- 2px² - 2 = 0.
Solução
Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.
- Logo, o valor de p é 3/2.
Resolução de equações incompletas
Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.
Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e
duas importantes propriedades dos números reais:
1ª Propriedade:
2ª Propriedade:
1º Caso: Equação do tipo ax² + bx = 0.
Exemplo:
- Determine as raízes da equação x² - 8 x = 0, sendo U =
.
Solução
Inicialmente, colocamos x em evidência:
x . (x-8) = 0
Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja.
Assim:
x = 0 ou x - 8 = 0
x = 8
Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:
V = {0, 8}
De modo geral, a equação do tipo ax² + bx = 0 tem para soluções x = 0 e x
= -b / a.
2º Caso: Equação do tipo ax² + c = 0
Exemplos:
- Determine as raízes da equação 2x² - 72 = 0, sendo U = IR.
Solução
De modo geral, a equação do tipo ax² + c = 0 possui duas raízes reais se
for
um número positivo, não tendo raiz real caso
seja um número
negativo.
Resolução de equações completas
Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de
Bhaskara.
A partir da equação ax² + bx + c = 0, em que a, b, c
IR e a
0, desenvolveremos
passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).
1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a. |
(4a) . (ax² + bx + c) = 0 . (4a)
4a²x² + 4abx + 4ac = 0
2º passo: passar 4ac para o 2º membro. |
4a²x² + 4abx = - 4ac
3º passo: adicionar b² aos dois membros. |
4º passo: fatorar o 1º elemento. |
(2ax + b)² = b² - 4ac
5º passo: extrair a raiz quadrada dos dois membros. |
6º passo: passar b para o 2º membro. |
7º passo: dividir os dois membros por 2a (a0) |
Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:
Podemos representar as duas raízes reais por x' e x",
assim:
Exemplos:
- resolução da equação: 7x² + 13x - 2 = 0
Temos: a = 7, b = 13 e c = -2
Discriminante
Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que
é representado pela letra grega
(delta).
Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:
De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:
1º Caso: O discriminante é positivo (
> 0).
O valor de
é real e a
equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:
Exemplo:
- Para quais valores de k a equação x² - 2x + (k -
2) = 0 admite raízes reais e desiguais?
Solução
Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter
> 0.
Logo, os valores de k devem ser menores que 3.
2º Caso: O discriminante é nulo (
= 0)
O valor de
é nulo e a
equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:
Exemplo:
- Determine o valor de p, para que a equação x² - (p
- 1) x + (p-2) = 0
- Solução
Para que a equação admita raízes iguais é necessário que
= 0
b² - 4ac = 0
[-(p-1)]² - 4.1.(p - 2) = 0
p² - 2p + 1 - 4p + 8 = 0
p² - 6p + 9 = 0
(p - 3)² = 0
p = 3
Logo, o valor de p é 3.
3º Caso: O discriminante é negativo
< 0.
O valor de
não existe em
IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número
complexos.
Exemplo:
- Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não
admite nenhuma raiz real?
Solução
Para que a equação não tenha raiz real devemos ter
< 0
Logo, os valores de m devem ser maiores
que 3.
Resumindo Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos: Para > 0, a equação |
EQUAÇÕES LITERAIS
As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou
alguns termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações
literais.
As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são
denominadas parâmetros.
Exemplos:
ax2+ bx + c = 0
incógnita: x
parâmetro:
a, b, c
ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0
incógnita: x
parâmetro: a
Equações literais incompletas
A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo
das equações numéricas.
Observe os exemplos:
- Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2 = 0,
sendo x a variável.
Solução
3x2 - 12m2 = 0
3x2 = 12m2
x2 = 4m2
x =
2
Logo, temos: V = { -2m, + 2m}
- Resolva a equação literal incompleta my2 - 2aby = 0,com
m0, sendo y
a variável.
Solução
my2 - 2aby = 0
y(my - 2ab)= 0
Temos, portanto, duas soluções:
y = 0
ou
my - 2ab = 0
my = 2ab
y= 2ab/m
Assim:
V = {0, 2ab/m}
Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos
assim resolvido:
my2 - 2aby= 0
my2 = 2aby
my = 2ab
y = 2ab/m
Desta maneira, obteríamos apenas a solução y = 2ab/m.
O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos
por y.
Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos,
evitando desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo.
Equações literais completas
As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula
de Bhaskara:
Exemplo:
Resolva a equação: x2 - 2abx - 3a2b2,
sendo x a variável.
Solução
Temos a=1, b = -2ab e c=-3a2b2
Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.
RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES
Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a
0 e sejam x'e x'' as
raízes reais dessa equação.
Logo:
Observe as seguintes relações:
- Soma das raízes (S)
|
- Produto das raízes (P)
Como = b² -
4ac, temos:
|
Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos
de aplicação dessas relações.
- Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x -
2 = 0.
Solução
Nesta equação, temos: a = 10, b = 1 e c = -2.
A soma das raízes é igual a
. O produto das
raízes é igual a
Assim:
Assim:
- Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de
modo que a soma de suas raízes seja igual a 7.
Solução
Nesta equação, temos: a = 1, b = 2k e c = 2.
S = x1 + x2 = 7
Logo, o valor de k é -2.
- Determine o valor de m na equação 4x2 - 7x + 3m = 0,
para que o produto das raízes seja igual a -2.
Solução
Nesta equação, temos: a = 4, b = -7 e c = 3m.
P= x1. x2= -2
Logo, o valor de m é -8/3.
- Determine o valor de k na equação 15x2 + kx + 1
= 0, para que a soma dos inversos de suas raízes seja igual a 8.
Solução
Considere x1 e x2 as raízes da equação.
A soma dos inversos das raízes corresponde a
.
Assim:
Logo, o valor de k é -8.
- Determine os valores de m para os quais a equação (2m - 1).x2
+ (3m - 2).x + m + 2 = 0 admita:
a) raízes simétricas;
b) raízes inversas.
Solução
Se as raízes são simétricas, então S=0.
Se as raízes são inversas, então P=1.
COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS
RAÍZES
Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.
Dividindo todos os termos por a (a0),
obtemos:
Como -b/a = S e c/a = P , podemos escrever a equação desta maneira.
x2 - Sx + P= 0 |
Exemplos:
- Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.
Solução
A soma das raízes corresponde a:
S = x1 + x2 = -2 + 7 = 5
O produto das raízes corresponde a:
P = x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14
A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S = 5 e P =
-14.
Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.
- Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma
das raízes é .
Solução
Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz
, a outra raiz
será .
Assim:
Logo, x2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.
FORMA FATORADA
Considere a equação ax2 + bx + c = 0.
Colocando a em evidência, obtemos:
Então, podemos escrever:
Logo, a forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é:
a.(x - x') . (x - x'') = 0 |
Exemplos:
- Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.
Solução
Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1
= 2 e x2 = 3.
Sendo a = 1, x1 = 2 e x2 = 3, a forma fatorada de x2
- 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:
(x-2).(x-3) = 0
- Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.
Solução
Calculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas
raízes reais e iguais a 5.
Sendo a = 2, x1 = x2 = 5, a forma fatorada de 2x2
- 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:
2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2 = 0
- Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.
Solução
Como o < 0, a equação não
possui raízes reais.
Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.
EQUAÇÕES BIQUADRADAS
Observe as equações:
x4 - 13x2 + 36 = 0
9x4 - 13x2 + 4 = 0
x4 - 5x2 + 6 = 0
Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x,
possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo
constante. Os segundos membros são nulos.
Denominamos essas equações de equações biquadradas.
Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:
ax4 + bx2 + c = 0 |
com a, b e c
e
a 0.
Exemplos:
x4 - 5x2 + 4 = 0
x4 - 8x2 = 0
3x4 - 27 = 0
Cuidado!
x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0
6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0
As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a
variável x só possui expoentes pares.
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA
Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua
variável, transformando-a numa equação do 2º grau.
Observe agora a seqüência que deve ser utilizada na resolução de uma
equação biquadrada.
Seqüência prática
- Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita
elevada ao quadrado) e x2 por y. - Resolva a equação ay2 + by + c = 0
- Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2
+ by + c = 0.
Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2
+ by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz
negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.
Exemplos:
- Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2
+ 36 = 0.
Solução
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 - 13y + 36 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:
y' = 4 e y'' = 9
Como x2 = y, temos:
Logo, temos para conjunto verdade: V = { -3, -2, 2, 3}.
- Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 -
60 = 0.
Solução
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 + 4y - 60 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:
y' = 6 e y'' = -10
Como x2 = y, temos:
Logo, temos para o conjunto verdade:.
- Determine a soma das raízes da equação
.
Solução
Utilizamos o seguinte artifício:
Assim:
y2 - 3y = -2
y2 - 3y + 2 = 0
y' = 1 e y'' = 2
Substituindo y, determinamos:
Logo, a soma das raízes é dada por:
Resolução de equações da forma: ax2n + bxn
+ c = 0
Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.
Para isso, substituimos xn por y, obtendo:
ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.
Exemplo:
- resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.
Solução
Fazendo x3 = y, temos:
y2 + 117y - 1.000 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
y' = 8 e y' '= -125
Então:
Logo, V= {-5, 2 }.
Composição da equação biquadrada
Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3
e x4 pode ser composta pela fórmula:
(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) |
Exemplo:
- Compor a equação biquadrada cujas raízes são:
a) 0 e
7
b)
a e
b
Solução
a) (x - 0) . (x - 0) . (x + 7) . (x - 7) = 0 b) (x
+ a) . (x - a) . (x + b) . (x - b) = 0
x2 . (x2 -49) = 0
(x2-a2)
. (x2-b2) = 0
x4 - 49x2 = 0
x4 - (a2 + b2) . x2
+ a2b2 = 0
PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA
Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas
raízes são x1, x2, x3 e x4 e a
equação do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.
De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a
biquadrada. Assim:
Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:
1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.
x1 + x2 + x3 + x4 |
2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é
igual a.
|
3ª Propriedade: O produto das raízes reais e não nulas da equação biquadrada
é igual a .
|
EQUAÇÕES IRRACIONAIS
Considere as seguintes equações:
Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando.
Essas equações são irracionais.
Ou seja:
Equação irracional é toda |
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL
A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando
transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os
membros da equação a uma potência conveniente.
Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente,
verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas
como raízes da equação irracional dada (verificar a igualdade).
É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de
uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à
equação dada.
Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos
reais.
Solução
Logo, V= {58}.
Solução
Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.
Solução
Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.
Solução
Logo, V = {9}; note que
é uma raiz
estranha a essa equação irracional.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Observe o seguinte problema:
Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área
de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.
De acordo com os dados, podemos escrever:
8x + 4y = 64
2x . (2x + 2y) = 192
4x2 + 4xy = 192
Simplificando, obtemos:
2x + y = 16 1
x2 +xy = 48
2
Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º
grau.
Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:
Assim: 2x + y = 16 1
y = 16 - 2x
Substituindo y em 2 ,
temos:
x2 + x . (16 - 2x) = 48
x 2 + 16x - 2x2 = 48
- x2 + 16x - 48 = 0
Multiplicando ambos os
membros por -1.
x2 - 16x + 48 = 0
x' = 4 e x'' = 12
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y' = 16 - 2 . 4 = 8
y'' = 16 - 2 . 12 = -8
As soluções do sistema são os pares ordenados (4, 8) e (12, -8).
Desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para
dimensões da quadra:
Comprimento = 2x + 2y = 2 . 4 + 2 . 8 = 24m
Largura = 2x = 2. 4 = 8m
Verifique agora a solução deste outro sistema:
Isolando y em 1
y - 3x = -1
y = 3x - 1
Substituindo em 2
x2 - 2x . (3x - 1) = -3
x2 - 6x2 + 2x = -3
-5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando
ambos os membros por -1.
5x2 - 2x - 3 = 0
x' = 1 e x'' = -3/5
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
As soluções do sistema são os pares ordenados (1, 2) e
.
Logo, temos para conjunto verdade:
PROBLEMAS DO 2º GRAU
Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:
- Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a
linguagem matemática. - Resolva a equação ou o sistema de equações.
- Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os
dados do problema.
Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:
- Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus
inversos seja 13/42.
Solução
Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus
inversos serão representados por
.
Temos então a equação:
.
Resolvendo-a:
Observe que a raiz -7/13 não é utilizada, pois não se trata de número
inteiro.
Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.
- Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus
algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse
número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.
Solução
Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos
trocada por 10y + x.
Observe:
Número:
10x + y
Número com a ordem dos algarismos trocada:
10y + x.
Temos, então, o sistema de equações:
Resolvendo o sistema, temos:
Isolando y em1:
-x + y = 3
y = x + 3
Substituindo y em 2:
xy = 18
x . (x + 3) = 18
x2 + 3x = 18
x2 + 3x - 18 = 0
x' = 3 e x'' = -6
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y' = 3 + 3 = 6
y'' = -6 + 3 = -3
Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.
Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, os números (x = 3 e
y = 6).
Resposta: O número procurado é 36.
- Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5
horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse
tanque isoladamente.
Solução
Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o
tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.
Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:
Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão 1/6 do tanque; observe a
equação correspondente:
Resolvendo-a, temos:
6.( x + 5 ) + 6x = x.( x + 5 )
6x + 30 + 6x = x2 + 5x
x2 - 7x - 30 = 0
x' = -3 e x'' = 10
Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x = 10.
Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15
horas.
- Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um
prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um
dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram
presentes nesse jantar?
Solução
Podemos representar por:
Resolvendo-a:
Resposta: Nesse jantar estavam presentes 20 pessoas.
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