sábado, 20 de outubro de 2007

Equações







As Equações resolvem os seus problemas





As Equações resolvem os seus problemas


 


     Neste tópico veremos os principais tipos de equações que você poderá
utilizar para resolver diversos tipos de problemas matemáticos.


 


 


Equações do 1º grau


 








Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma
relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em
latim quer dizer "igual".


 


Exemplos:


  2x + 8 = 0


  5x - 4 = 6x + 8


  3a - b - c = 0


 


Não são equações:


  4 + 8 = 7 + 5   (Não é uma sentença aberta)


  x - 5 < 3   (Não é igualdade)


  exercicio_99.GIF (910 bytes)  
(não é sentença aberta, nem igualdade)


 


A equação geral do primeiro grau:



ax+b = 0


onde a e b são números conhecidos e
a > 0,
se resolve de maneira simples: subtraindo b dos
dois lados, obtemos:


 


ax = -b


dividindo agora por a (dos dois lados), temos:



exercicio.gif (1156 bytes)


 


      Considera a equação 2x - 8 = 3x -10


    A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita
significa " desconhecida".


    Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o
sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.


 


               
exercicio_100.GIF (1897 bytes)


    Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.


 



exercicio_101.GIF (2837 bytes)


 









   Equação do 1º grau na incógnita x
é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b,
sendo a e b números
racionais, com a diferente de zero. 




 


 


 


Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação


 



    Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.


    Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto
universo
da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma
equação.


 


    Observe este outro exemplo:



  •     Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25


              O conjunto dos números inteiros é o conjunto universo da
equação.


              Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto
verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.


    Daí concluímos que:


 









   Conjunto Universo é o conjunto de
todos os valores que a variável pode assumir. Indica-se por U.




 









   Conjunto verdade é o conjunto dos valores
de U, que tornam verdadeira a equação. Indica-se por V.




 


Observações:




  • O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.


                                   
exercicio_102.GIF (1075 bytes)



  • Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto
    universo o conjunto dos números racionais.


                                  
exercicio_103.GIF (1056 bytes)




  • O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode
    ser indicado por S.


 


 


Raízes de uma equação


 


        Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes
da equação.


        Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à
seguinte seqüência:


 



  • Substituir a incógnita por esse número.

  • Determinar o valor de cada membro da equação.

  • Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado
    é raiz da equação.


 


               Exemplos:


                Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes
das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.


 



  • Resolva a equação   x - 2  = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.


                                        Para x = 0 na equação x
- 2  = 0 temos: 0 - 2 = 0  => -2 = 0. (F)


                                        Para x = 1 na equação x
- 2  = 0 temos: 1 - 2 = 0  => -1 = 0. (F)


                                        Para x = 2 na equação x
- 2  = 0 temos: 2 - 2 = 0  => 0 = 0. (V)


                                        Para x = 3 na equação x
- 2  = 0 temos: 3 - 2 = 0  => 1 = 0. (F)


    Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V =
{2}.

 


 



  • Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.


                                       


                                        Para x = -1 na equação 2x
- 5  = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1  => -7 = 1. (F)


                                        Para x = 0 na equação 2x
- 5  = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1  => -5 = 1. (F)


                                        Para x = 1 na equação 2x
- 5  = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1  => -3 = 1. (F)


                                        Para x = 2 na equação 2x
- 5  = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1  => -1 = 1. (F)


 


    A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V
Ø.


Resolução de uma equação


 


       Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações que
nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem,
finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes
da equação
. Resumindo:



 









   Resolver uma equação significa determinar o seu
conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.





   


    Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar
os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo).
Exemplos:


 


 



  • Sendo exercicio_103.GIF (1056 bytes)
    , resolva a equação exercicio_104.GIF (1006 bytes).


 


                            MMC (4, 6) = 12


                               
exercicio_105.GIF (1112 bytes)


                                -9x = 10    
   =>  
Multiplicador por (-1)


                                 9x = -10


                               
exercicio_106.GIF (977 bytes)


                                  


 


    Como 
exercicio_107.GIF (1017 bytes)
, então exercicio_108.GIF (1056 bytes).


 



  • Sendo
    exercicio_103.GIF (1056 bytes)
    ,
    resolva a equação 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x
    - 4).


            Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:


 


2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 


2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3


3x = -1


   
exercicio_109.GIF (944 bytes)


     Como 
exercicio_110.GIF (982 bytes)
, então
exercicio_111.GIF (1070 bytes)    


 


 


 


Equações impossíveis e identidades


 



  • Sendo
    exercicio_103.GIF (1056 bytes)
    ,
    considere a seguinte equação: 2 . (6x - 4) = 3 . (4x - 1).


            Observe, agora, a sua resolução:


 


2 . 6x - 2  . 4 = 3 . 4x - 3 . 1


12x - 8 = 12x - 3 


12x - 12x = - 3 + 8


0 . x = 5


 


    Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a
equação é impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V =   Ø.


    Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando a
= 0 e exercicio_112.GIF (914 bytes)


 



  •  Sendo
    exercicio_103.GIF (1056 bytes)
    ,
    considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x.


            Observe a sua resolução:


 


-3x + 3x = 2 - 10 + 8


0 . x = 0 


       Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a
equação possui infinitas soluções.


        Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna
a equação verdadeira, são denominadas identidades.


 


 


 


Pares ordenados


 


Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números
racionais, numa certa ordem.


   Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:


  




exercicio_113.GIF (1646 bytes)

                    
exercicio_114.GIF (1777 bytes)


 


    Assim:









   Indicamos por (x, y) o
par ordenado formado pelos elementos x e
y
, onde x é o 1º elemento e
y é o 2º elemento.




 


 


 



  •    Observações



  1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais
    quaisquer, temos:
    exercicio_115.GIF (1042 bytes)
    .


 


Exemplo:



exercicio_116.GIF (1034 bytes)


 


    2.   Dois pares ordenados (xy) e (r, s)
são iguais somente se x = r e y = s.


 


Representação gráfica de um Par Ordenado


 


    Podemos representar um par ordenado através de um ponto num plano. Esse
ponto é chamado de imagem do par ordenado.


 


        Coordenadas
Cartesianas


    Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas.


    Exemplos:


 


 A (3, 5)
se_entao.gif (297 bytes)  3 e 5 são as
coordenadas do ponto A.


    Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada,
o 2º número desse par. Assim:


 



exercicio_17.gif (839 bytes)


 


             
Plano Cartesiano


    Representamos um par ordenado num plano cartesiano.


    Esse plano é formado por duas retas, x e y perpendiculares
entre si.



    A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x).


    A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).


    O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que
corresponde ao par ordenado (0, 0).


 


      exercicio_118.GIF (2384 bytes)


  


 


        Localização de um
Ponto


             Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a
seqüência prática:



  • O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.

  • O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.

  • No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses
    pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo:

  • Localize o ponto (4, 3).


 



exercicio_119.GIF (2648 bytes)


 


  



    Produto Cartesiano


   Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3}  e  B = {3, 4}.


    Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos
os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º
pertença ao conjunto B.



exercicio_120.GIF (1837 bytes)


 


    Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3,
4)}


    Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B,
e é indicado por:


   


                                    x
pertence.gif (294 bytes)

A  e  y
pertence.gif (294 bytes)

B    
         


 


    Logo:


    Dados dois conjuntos A e B, não vazios, denominamos
produtos cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x,
y) onde


x
pertence.gif (294 bytes)

A  e  y
pertence.gif (294 bytes)

B


 



exercicio_121.GIF (1579 bytes)


Equações de primeiro grau
(com duas variáveis)


 


    Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y.
Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, que pode ser
transformada numa equação equivalente mais simples. Assim:


 


            2x + 3y = 5 + 6


            2x + 3y = 11 
se_entao.gif (297 bytes) Equação do 1º grau na
forma ax + by = c
.


 









   Denominamos equação de 1º grau com duas
variáveis, x e y, a toda
equação que pode ser reproduzida na forma ax + by =
c
, sendo a e b
números diferentes de zero, simultaneamente.



 


    Na equação ax + by = c,
denominamos:


x + y  - variáveis ou incógnita


a  -  coeficiente de x


b  -  coeficiente de y


c  -  termo independente


 


    Exemplos:


x + y = 30


2x + 3y = 15


x - 4y = 10


-3x - 7y = -48


2x- 3y = 0


x - y = 8


 


 


   Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis


   Quais o valores de x e y que tornam a sentença  x - 2y
= 4 verdadeira?


    Observe os pares abaixo:


    x = 6,  y = 1



    x - 2y = 4



    6
- 2 .
1
= 4



    6 - 2 = 4


    4 = 4  (V)


 


    x = 8,  y = 2



    x - 2y = 4



    8 - 2 .
2
= 4


    8 - 4 = 4



    4 = 4  (V)


 


    x = -2,  y = -3



    x - 2y = 4



   -2 - 2 . (-3)
= 4


   -2 + 6 = 4



    4 = 4  (V)



   


    Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x
- 2y = 4.


    Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa
equação.


    Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções
- infinitos (x, y) - , sendo, portanto, seu conjunto universo
exercicio_122.GIF (1024 bytes)
.


    Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para
uma das variáveis, calculando a seguir o valor da outra.


    Exemplo:



  • Determine uma solução para a equação 3x - y = 8.


         Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y.
Assim:


 



            3x - y = 8                


            3 . (1)
- y = 8                      


            3 - y = 8               


            -y = 5  
se_entao.gif (297 bytes) Multiplicamos por -1


            y = -5            


 



    O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação.


                V = {(1, -5)}


 


    Resumindo:


 









   Um par ordenado (r, s)
é solução de uma equação ax + by = c
(a e b não nulos
simultaneamente), se para x = r e
y = s
a sentença é verdadeira.




Gráfico de uma equação de 1º grau com duas
variáveis


 


    Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas
soluções.


    Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x,
y
).


    Dispondo de dois pares ordenados de uma equação, podemos representá-los
graficamente em um plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o
conjunto das solução dessa equação. Exemplo:



  • Construir um gráfico da equação x= 4.


            Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam 
essa equação.


                    1º par: A (4, 0)


                    2º par: B (0, 4)


    A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.


 


exercicio_123.GIF (2385 bytes)


 



        Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta
r, que contém todos os pontos soluções da equação.


 








exercicio_124.GIF (2638 bytes)



 


    A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.



 


 


Sistemas de Equações


 


    Considere o seguinte problema:


 


   Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e
y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos.
Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?


 


   Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber:


                x + y = 25     (total de arremessos certo)


                2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)


 


    Essas equações contêm um sistema de equações.


    Costuma-se indicar o sistema usando chave.


                                        
exercicio_125.GIF (1204 bytes)


    O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é
chamado solução do sistema.


    Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única
solução
.


 


 


 


Resolução de Sistemas


    A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em
determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas
equações.


    Estudaremos a seguir alguns métodos:


 


Método de substituição




exercicio_126.GIF (1083 bytes)


   


Solução




  • determinamos o valor de x na 1ª equação.


                        x = 4 - y



  • Substituímos esse valor na 2ª equação.


                        2 . (4 - y) - 3y = 3 



  • Resolvemos a equação formada.


 



        8 - 2y -3y = 3     


        -2y -3y = 3


        -5y = 5
se_entao.gif (297 bytes)
Multiplicamos por -1


        5y = -5



           y = 5 / 5


           y = 1


 




  • Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações,
    determinando x.


 



x  + 1 =  4



x =  4 - 1



x = 3


 




  • A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).


V = {(3, 1)}


 


 


Método da adição


   Sendo U =
exercicio_122.GIF (1024 bytes)
,
observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição.


   Resolva o sistema abaixo:


exercicio_127.GIF (1124 bytes)


 


   Solução




  • Adicionamos membros a membros as equações:


                       
exercicio_128.GIF (1231 bytes)


                           2x = 16


                           
exercicio_129.GIF (955 bytes)


                            x = 8


 



  • Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações,
    determinado y:


                           
8
+ y = 10


                            y = 10 - 8


                            y = 2


        A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)


                            V = {(8, 2)}


Equações do 2º grau


 


    Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da
forma:


 










ax2 + bx + c = 0; a, b,
pertence.gif (294 bytes)
IR
e

exercicio_130.GIF (910 bytes)




 


    Exemplo:




  • x2 - 5x + 6 = 0    é um equação do 2º grau com a =
    1,  b = -5  e  c = 6.

  • 6x2 - x - 1 = 0    é um equação do 2º grau com a =
    6,  b = -1  e  c = -1.

  • 7x2 - x = 0         é um equação do 2º grau com a =
    7,  b = -1  e  c = 0.

  • x2 - 36 = 0         é um equação do 2º grau com a =
    1,  b = 0 e c = -36.


  


    Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma
normal
ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na   incógnita
x
) chamamos a, b e c de coeficientes.


                                                a é sempre o
coeficiente de  x²;


                                                b é sempre o
coeficiente de x,


                                               c é o coeficiente ou
termo independente.


 


 


Equação completas e incompletas


 


    Uma equação do 2º grau é completa quando b e c
são diferentes de zero. Exemplos:


 


x² - 9x + 20 = 0   e -x² + 10x - 16 =
0 são equações completas.


    Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou
c
é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:












  • x² - 36 = 0

    (b = 0)




  • x² - 10x = 0

    (c = 0)




  • 4x² = 0

    (b = c = 0)





 


 


Raízes de uma equação do 2º grau


 


   Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.


 










Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita
de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.




 


    O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto
verdade
ou conjunto solução. Exemplos:



  • Dentre os elementos do conjuntos A= { -1, 0, 1, 2}, quais são raízes da
    equação

    x² - x - 2 = 0 ?


            Solução

  
         Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos
elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.

























Para x =
-1
(-1)² - (-1) -
2 = 0

1 + 1 - 2 = 0

0 = 0
(V)
Para x =
0
0² - 0 - 2 = 0

0 - 0 -2 = 0

-2 = 0
(F)
Para x =
1
1² - 1 - 2 = 0

1 - 1 - 2 = 0

-2 = 0
(F)
Para x =
2
2² - 2 - 2 = 0

4 - 2 - 2 = 0

0 = 0
(V)



 


 


   Logo, -1 e 2 são raízes da equação.



  • Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x²
    - 2px² - 2 = 0.



    Solução

    Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.


 



exercicio_131.GIF (2160 bytes)


 



  •  Logo, o valor de p é 3/2.


 


 


Resolução de equações incompletas


 


    Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.

    Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e
duas importantes propriedades dos números reais:


   1ª Propriedade: 
exercicio_132.GIF (1445 bytes)


   2ª Propriedade: 
exercicio_133.GIF (1495 bytes)


 


   1º Caso: Equação do tipo ax² + bx = 0.


  


    Exemplo:



  • Determine as raízes da equação x² - 8 x = 0, sendo U =
    reais.gif (870 bytes).



    Solução

    Inicialmente, colocamos x em evidência:

                     x . (x-8) = 0


   Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja.
Assim:

                                               x = 0  ou  x - 8 = 0
se_entao.gif (297 bytes)
x = 8


   Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:

                                                V = {0, 8}


   De modo geral, a equação do tipo ax² + bx = 0 tem para soluções x = 0 e  x
= -b / a.


  


2º Caso: Equação do tipo ax² + c = 0


   Exemplos:



  • Determine as raízes da equação 2x² - 72 = 0, sendo U = IR.


 


Solução


                       
exercicio_134.GIF (2133 bytes)


  


    De modo geral, a equação do tipo ax² + c = 0 possui duas raízes reais se
exercicio_135.gif (357 bytes) for
um número positivo, não tendo raiz real caso
exercicio_135.gif (357 bytes) seja um número
negativo.


Resolução de equações completas


 


    Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de
Bhaskara.




    A partir da equação ax² + bx + c = 0, em que a, b, c 
pertence.gif (294 bytes)  IR e a
diferente.gif (293 bytes)0, desenvolveremos
passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).


 









1º passo: multiplicaremos ambos os
membros por 4a.



(4a) . (ax² + bx + c) = 0 . (4a)


4a²x² + 4abx + 4ac = 0









2º passo: passar 4ac para o 2º
membro.



4a²x² + 4abx = - 4ac









3º passo: adicionar b² aos dois membros.




exercicio_136.GIF (1581 bytes)









4º passo: fatorar o 1º elemento.



(2ax + b)² = b² - 4ac









5º passo: extrair a raiz quadrada dos
dois membros.




exercicio_137.GIF (1534 bytes)









6º passo: passar b para o 2º
membro.




exercicio_138.GIF (1157 bytes)









7º passo: dividir os dois membros por
2a        (a
diferente.gif (293 bytes)0)




exercicio_139.GIF (1271 bytes)


 



   Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:


 









exercicio_140.GIF (1308 bytes)



 



    Podemos representar as duas raízes reais por x' e x",
assim:

   

exercicio_141.GIF (1728 bytes)


 


   Exemplos:



  • resolução da equação: 7x² + 13x - 2 = 0

    Temos: a = 7, b = 13 e c = -2 


                       
exercicio_142.GIF (3349 bytes)


 


Discriminante


    Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que
é representado pela letra grega
delta.gif (302 bytes)
(delta).



exercicio_143.GIF (1044 bytes)



 


    Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:



exercicio_144.GIF (1171 bytes)


 


    De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:


 


1º Caso: O discriminante é positivo (delta.gif (302 bytes)
> 0).

        O valor de
exercicio_145.GIF (906 bytes) é real e a
equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:



exercicio_146.GIF (1659 bytes)


    Exemplo:



  • Para quais valores de k a equação x² - 2x + (k -
    2) = 0 admite raízes reais e desiguais?



    Solução



    Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter
    delta.gif (302 bytes) > 0.

     



exercicio_147.GIF (2602 bytes)


 


        Logo, os valores de k devem ser menores que 3.


 


2º Caso: O discriminante é nulo  (delta.gif (302 bytes)
= 0)

            O valor de
exercicio_145.GIF (906 bytes) é nulo e a
equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:

                                   
exercicio_148.GIF (1034 bytes)


    Exemplo:



  • Determine o valor de p, para que a equação x² - (p
    -
    1) x + (p-2) = 0

     

  • Solução



    Para que a equação admita raízes iguais é necessário que
    delta.gif (302 bytes) = 0


b² - 4ac = 0


[-(p-1)]² - 4.1.(p - 2) = 0


p² - 2p + 1 - 4p + 8 = 0


p² - 6p + 9 = 0


(p - 3)² = 0


p = 3


   Logo, o valor de p é 3.


 


3º Caso: O discriminante é negativo
delta.gif (302 bytes) < 0.

        O valor de
exercicio_145.GIF (906 bytes) não existe em
IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número
complexos.

       


   Exemplo:



  • Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não
    admite nenhuma raiz real?



    Solução

    Para que a equação não tenha raiz real devemos ter
    delta.gif (302 bytes) < 0




               
exercicio_149.GIF (2380 bytes)


 


Logo, os valores de m devem ser maiores
que 3.









Resumindo


  Dada a equação ax² + bx + c = 0,  temos:


  Para delta.gif (302 bytes) > 0, a equação
tem duas raízes reais diferentes.

  Para delta.gif (302 bytes) = 0, a equação
tem duas raízes reais iguais.

  Para delta.gif (302 bytes) < 0, a equação
não tem raízes reais.




 


EQUAÇÕES LITERAIS


 


    As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou
alguns termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações
literais.


 


    As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são
denominadas parâmetros.


Exemplos:


                       ax2+ bx + c = 0                       
incógnita: x



                                                                        parâmetro:
a, b, c


                      ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0            
incógnita: x


                                                                       
parâmetro: a


 


 


  Equações literais incompletas


       A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo
das equações numéricas.


      Observe os exemplos:



  • Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2 = 0,
    sendo x a variável.


        


Solução


                         3x2 - 12m2 = 0


                         3x2 = 12m2


                          x2 = 4m2


                          exercicio_150.GIF (1026 bytes)


                          x =
mais_ou_menos.gif (296 bytes)


Logo, temos:  V = { -2m, + 2m}



  • Resolva a equação literal incompleta my2 - 2aby = 0,com
    mdiferente.gif (293 bytes)0, sendo y
    a variável.


 


Solução


                        my2 - 2aby = 0


                        y(my - 2ab)= 0


Temos, portanto, duas soluções:


                     y = 0


                      ou


                    my - 2ab = 0
implica.gif (302 bytes)
my = 2ab
implica.gif (302 bytes)y= 2ab/m


Assim: 

V = {0, 2ab/m}


 


 Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos
assim resolvido:


              my2 - 2aby= 0


              my2 =  2aby


              my = 2ab


              y = 2ab/m                 


    Desta maneira, obteríamos apenas a solução y = 2ab/m.


    O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos
por y.


    Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos,
evitando desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo.


 


 


 


Equações literais completas


    As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula
de Bhaskara:


Exemplo:


       Resolva a equação: x2 - 2abx - 3a2b2,
sendo x a variável.


      


Solução


       Temos a=1, b = -2ab e c=-3a2b2


                       
exercicio_151.GIF (3587 bytes)


Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.



 


 


 RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES


 Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a
diferente.gif (293 bytes)0 e sejam x'e x'' as
raízes reais dessa equação.


   Logo:    
exercicio_152.GIF (1359 bytes)


 


Observe as seguintes relações:



  • Soma das raízes (S)


         
exercicio_153.GIF (1784 bytes)


 










exercicio_154.GIF (1062 bytes)




 


     



  • Produto das raízes (P)


                   
exercicio_155.GIF (2135 bytes)


 Como delta.gif (302 bytes) = b² -
4ac, temos:



exercicio_156.GIF (1724 bytes)


 










exercicio_157.GIF (1020 bytes)




 




    Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos
de aplicação dessas relações.



  • Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2  + x -
    2 = 0. 


 


Solução


Nesta equação, temos: a = 10, b = 1 e c = -2.


A soma das raízes é igual a
exercicio_158.GIF (918 bytes). O produto das
raízes é igual a
exercicio_159.GIF (892 bytes)


Assim: exercicio_160.GIF (979 bytes)
                                   Assim:
exercicio_161.GIF (1109 bytes)


 



  • Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de
    modo que a soma de suas raízes seja igual a 7.


 


Solução


Nesta equação, temos: a = 1, b = 2k e c = 2.


         S = x1 + x2 = 7



exercicio_162.GIF (1698 bytes)


 


Logo, o valor de k é -2.



  • Determine o valor de m na equação 4x2 - 7x + 3m = 0,
    para que o produto das raízes seja igual a -2.


 


Solução


Nesta equação, temos: a = 4, b = -7 e c = 3m.


               P= x1. x2= -2


             
exercicio_163.GIF (1319 bytes)


Logo, o valor de m é -8/3.



  •  Determine o valor de k na equação 15x2 + kx + 1
    = 0, para que a soma dos inversos de suas raízes seja igual a 8.

       


 


Solução


Considere x1 e x2 as raízes da equação.


A soma dos inversos das raízes corresponde a
exercicio_164.GIF (988 bytes)
.


Assim:


                      
exercicio_165.GIF (2322 bytes)


                      


Logo, o valor de k é -8.


 



  • Determine os valores de para os quais a equação (2m - 1).x2
    + (3m - 2).x + m + 2 = 0 admita:


a) raízes simétricas;


b) raízes inversas.


 


Solução


Se as raízes são simétricas, então S=0.


                           
exercicio_166.GIF (1755 bytes)


Se as raízes são inversas, então P=1.


                       
exercicio_167.GIF (1716 bytes)


COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS
RAÍZES


 


 Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.


 Dividindo todos os termos por a (adiferente.gif (293 bytes)0),
obtemos:



exercicio_168.GIF (1469 bytes)


 


 


Como   -b/a = S   e   c/a = P   , podemos escrever a equação desta maneira.


 









x2 - Sx + P= 0




 


                           


Exemplos:



  • Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.


 


Solução


A soma das raízes corresponde a:


S = x1 + x2 = -2 + 7 = 5


O produto das raízes corresponde a:


P = x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14


A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S = 5 e P =
  -14.


Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.


 



  • Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma
    das raízes é  exercicio_169.GIF (933 bytes).


 


Solução


Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz 
exercicio_169.GIF (933 bytes), a outra raiz
será  exercicio_170.GIF (928 bytes).



exercicio_171.GIF (1706 bytes)


 


    Assim:



exercicio_172.GIF (2053 bytes)


 


Logo, x2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.


 


 


 FORMA FATORADA


 Considere a equação ax2 + bx + c = 0.


 Colocando a em evidência, obtemos:



exercicio_173.GIF (1826 bytes)


 


Então, podemos escrever:



exercicio_174.GIF (3029 bytes)



Logo, a forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é:



 









a.(x - x') . (x - x'') = 0




 


 


Exemplos:



  • Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.


 


Solução


Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1
= 2 e x2 = 3.


Sendo a = 1, x1 = 2 e x2 = 3, a forma fatorada de x2
- 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:


(x-2).(x-3) = 0



  • Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.

       


Solução


Calculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas
raízes reais e iguais a 5.


Sendo a = 2, x1 = x2 = 5, a forma fatorada de 2x2
- 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:


2.(x - 5) (x - 5) = 0  ou 2. (x - 5)2 = 0


 



  • Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.


 


Solução


Como o delta.gif (302 bytes) < 0, a equação não
possui raízes reais.


Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.


 


EQUAÇÕES BIQUADRADAS


 Observe as equações:


x4 - 13x2 + 36 = 0


9x4 - 13x2 + 4 = 0


x4 - 5x2 + 6 = 0


 


    Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x,
possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo
constante. Os segundos membros são nulos.


    Denominamos essas equações de equações biquadradas.


    Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:


 









ax4 + bx2 + c = 0




 


 com a, b e c
pertence.gif (294 bytes)
reais.gif (870 bytes)   e
  
a diferente.gif (293 bytes) 0.
  


 


Exemplos:


x4 - 5x2 + 4 = 0


x4 - 8x2 = 0


3x4 - 27 = 0


 


Cuidado!


      x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0               
6x4 + 2x3 - 2x = 0             x4 - 3x = 0


As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a
variável x só possui expoentes pares.


 


 


 


RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA


     


    Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua
variável, transformando-a numa equação do 2º grau.


      Observe agora a seqüência que deve ser utilizada na resolução de uma
equação biquadrada.


 


Seqüência prática



  • Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita
    elevada ao quadrado) e x2 por y.

  • Resolva a equação ay2 + by + c = 0

  • Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2
    + by + c = 0.



exercicio_175.GIF (1139 bytes)


 


       Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2
+ by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz
negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.


Exemplos:



  • Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2
    + 36 = 0.


 


Solução


Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:


                   


                     y2 - 13y + 36 = 0


Resolvendo essa equação, obtemos:


 


                  y' = 4     e      y'' = 9


Como x2 = y, temos:


                  
exercicio_176.GIF (1419 bytes)


Logo, temos para conjunto verdade: V = { -3, -2, 2, 3}.


 



  • Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 -
    60 = 0.


 


Solução


Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:


 


                       y2 + 4y - 60 = 0


Resolvendo essa equação, obtemos:


 


                     y' = 6   e  y'' = -10


Como x2 = y, temos:


exercicio_177.GIF (1310 bytes)


Logo, temos para o conjunto verdade:.
exercicio_178.GIF (1109 bytes)



  • Determine a soma das raízes da equação
    exercicio_179.GIF (1152 bytes)
    .


 


Solução


Utilizamos o seguinte artifício:


exercicio_180.GIF (1437 bytes)


 


Assim:


             y2 - 3y = -2


            y2 - 3y + 2 = 0


           y' = 1  e  y'' = 2


Substituindo y, determinamos:


           exercicio_181.GIF (4046 bytes)


Logo, a soma das raízes é dada por:


        exercicio_182.GIF (1136 bytes)


 


Resolução de equações da forma: ax2n + bxn
+ c = 0


 


    Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.


    Para isso, substituimos xn por y, obtendo:


        ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.


exercicio_183.GIF (1367 bytes)


 


Exemplo:



  • resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.


 


Solução


Fazendo x3 = y, temos:


                y2 + 117y - 1.000 = 0


Resolvendo a equação, obtemos:


              y' = 8   e  y' '= -125


Então:


            
exercicio_184.GIF (1349 bytes)


Logo, V= {-5, 2 }.


 


 


Composição da equação biquadrada


 


 Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3
e x4 pode ser composta pela fórmula:


 









(x -x1) . (x - x2) . (x - x3)
. (x - x4) = 0




 


Exemplo:



  • Compor a equação biquadrada cujas raízes são:


 a) 0 e
mais_ou_menos.gif (296 bytes)
7
                                                                    b)
mais_ou_menos.gif (296 bytes)
a  e
mais_ou_menos.gif (296 bytes)
b


 


Solução


a) (x - 0) . (x - 0) . (x + 7) . (x - 7) = 0                            b) (x
+ a) . (x - a) . (x + b) . (x - b) = 0


 x2 . (x2 -49) = 0
                                                                 (x2-a2)
. (x2-b2) = 0


 x4 - 49x2 = 0                                         
                            x4 - (a2 + b2) . x2
+ a2b2 = 0


 


 


 


 PROPRIEDADES  DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA


   Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas
raízes são x1, x2, x3 e x4 e a
equação do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.


   De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a
biquadrada. Assim:



exercicio_185.GIF (1493 bytes)


 


Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:


 


1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.


                           
exercicio_186.GIF (1427 bytes)


 









x1 + x2 + x3 + x4
= 0




 


 


2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é
igual aexercicio_187.gif (385 bytes).



exercicio_188.GIF (2348 bytes)


 










exercicio_189.GIF (1207 bytes)




 


3ª Propriedade: O produto das raízes reais e não nulas da equação biquadrada
é igual a exercicio_159.GIF (892 bytes).



exercicio_190.GIF (1884 bytes)


 










exercicio_191.gif (585 bytes)




EQUAÇÕES IRRACIONAIS


 


    Considere as seguintes equações:


exercicio_192.GIF (1525 bytes)


 


    Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando.
Essas equações são irracionais.


    Ou seja:


     









Equação irracional é toda
equação que tem variável no radicando.




 


 


 RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL


  


       A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando
transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os
membros da equação a uma potência conveniente.


 


         Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente,
verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas
como raízes da equação irracional dada (verificar a igualdade).


 


       É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de
uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à
equação dada.


 


Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos
reais.




  • exercicio_193.GIF (996 bytes)


 


Solução


                 
exercicio_194.GIF (2612 bytes)


Logo, V= {58}.


 



  • exercicio_195.GIF (1029 bytes)


 


Solução


               
exercicio_196.GIF (3804 bytes)


Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.


 



  • exercicio_197.GIF (1084 bytes)


 


Solução


exercicio_198.GIF (5028 bytes)


 


Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.


 



  • exercicio_199.GIF (1167 bytes)


 


Solução


          exercicio_200.GIF (6684 bytes)


Logo, V = {9}; note que
nove_quartos.gif (346 bytes)
é uma raiz
estranha a essa equação irracional.



SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU


 


     Observe o seguinte problema:


     Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área
de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.



exercicio_201.GIF (2283 bytes)


 


    De acordo com os dados, podemos escrever:


    8x + 4y = 64


    2x . (2x + 2y) = 192 
implica.gif (302 bytes) 4x2 + 4xy = 192




Simplificando, obtemos:


2x + y = 16                  1


x2 +xy = 48                 
2


 


Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º
grau.


Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:


Assim:    2x + y = 16        1


                y = 16 - 2x


 


Substituindo y em  2 ,
temos:


             x2 + x . (16 - 2x) = 48


             x 2 + 16x - 2x2 = 48


             - x+ 16x - 48 = 0
implica.gif (302 bytes)Multiplicando ambos os
membros por -1.


             x2 - 16x + 48 = 0


            x' = 4       e         x'' = 12


 


    Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:


y' = 16 - 2 . 4 = 8


y'' = 16 - 2 . 12 = -8


 


    As soluções  do sistema são os pares ordenados (4, 8) e (12, -8).


    Desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para
dimensões da quadra:


                    Comprimento     =     2x + 2y = 2 . 4 + 2 . 8 = 24m


                    Largura               =      2x = 2. 4 = 8m


Verifique agora a solução deste outro sistema:


exercicio_202.GIF (1211 bytes)   


    Isolando y em 1


               y - 3x = -1
implica.gif (302 bytes)
y = 3x - 1


Substituindo em  2


           x2  - 2x . (3x - 1) = -3


           x2 - 6x2 + 2x = -3   


          -5x2 + 2x + 3 = 0 implica.gif (302 bytes) Multiplicando
ambos os membros por -1.


           5x2 - 2x - 3 = 0


x' = 1       e    x'' = -3/5


Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:


                                           
exercicio_203.GIF (1410 bytes)


As soluções do sistema são os pares ordenados (1, 2) e 
exercicio_204.GIF (1113 bytes)
.


Logo, temos para conjunto verdade:
exercicio_205.GIF (1387 bytes)


 


 


 


PROBLEMAS DO 2º GRAU


 


     Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:


 



  • Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a
    linguagem matemática.

  • Resolva a equação ou o sistema de equações.

  • Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os
    dados do problema.


 


 


Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:


 



  • Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus
    inversos seja 13/42.


 


Solução


Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus
inversos serão representados por
exercicio_206.GIF (1009 bytes)
.


Temos então a equação:
exercicio_207.GIF (1112 bytes)
.


Resolvendo-a:


                                   
exercicio_208.GIF (2554 bytes)


 


Observe que a raiz -7/13 não é utilizada, pois não se trata de número
inteiro.


 


Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.


 


 


 



  • Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus
    algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse
    número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.


     


Solução


Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos
trocada por 10y + x.


 


Observe:


Número:       
10x + y


Número com a ordem dos algarismos trocada: 
10y + x.


 


Temos, então, o sistema de equações:


                                             
exercicio_209.GIF (1425 bytes)


Resolvendo o sistema, temos:


                                              
exercicio_210.GIF (2265 bytes)


Isolando y em1:


                    -x + y = 3 
implica.gif (302 bytes) y = x + 3


Substituindo y em 2:


xy = 18

x . (x + 3) = 18

x2 + 3x = 18

x2 + 3x - 18 = 0

x' = 3  e  x'' = -6


    Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:


                                 y' = 3 + 3 = 6


                                 y'' = -6 + 3 = -3


    Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.


    Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, os números (x = 3 e
y = 6).




Resposta
: O número procurado é 36.

 


 


 


 



  • Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5
    horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse
    tanque isoladamente.

     


Solução


    Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o
tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.


    Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:


                      
exercicio_211.GIF (1407 bytes)


Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão 1/6 do tanque; observe a
equação correspondente:


                      
exercicio_212.GIF (1352 bytes)


 


Resolvendo-a, temos:


                      6.( x + 5 ) + 6x = x.( x + 5 )


                      6x + 30 + 6x = x2 + 5x


                       x2 - 7x - 30 = 0


                       x' = -3      e   x'' = 10


Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x = 10.


 


Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15
horas.


 


 


 



  • Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um
    prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um
    dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram
    presentes nesse jantar?


 


Solução


    Podemos representar por:


                                                          
exercicio_213.GIF (3295 bytes)


    Resolvendo-a:


                                                         
exercicio_214.GIF (3461 bytes)


Resposta:  Nesse jantar estavam presentes 20 pessoas.






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