Probabilidade

Probabilidade não se aprende "ao acaso"

 

    Para iniciar, vamos
considerar algumas hipóteses.

 

• Ao início de um jogo, o juiz tira "cara ou coroa" para definir o time que
  ficará com a bola ou o lado do campo;


• Uma mulher espera o nascimento de uma criança mas não sabe o sexo.


• Toda semana, milhares de pessoas arriscam a sorte na loteria.

 

    Problemas como estes são, hoje, o objeto de estudo das
probabilidades. Embora as apostas e os jogos sejam paixões antigas da
humanidade, somente no século XVII que os estudiosos começaram a pesquisar as
questões relacionadas a eles. Os matemáticos franceses Pierre de Fermat (1601 a
1665) e Blaise Pascal (1623 a 1992) foram os primeiros a estudar de maneira
organizada o tema. Com esses estudos, desenvolveu-se uma verdadeira teoria dos
jogos que seria posteriormente imprescindível ao progresso da Física Quântica e
das modernas teorias sobre o Caos.

 

    Como não podemos prever o resultado de algo que irá
acontecer, podemos descobrir as possibilidades.

 

    A Teoria da Probabilidade é o ramo que procura medir ou
determinar quantitativamente a possibilidade de que um acontecimento ou
experiência produza determinado resultado.

 

 

Experimento
Aleatório

 

    É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem
fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso.
Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem
envolve cálculo de experimento aleatório.

Um experimento apresenta as seguintes características fundamentais:

• É possível conhecer previamente o conjunto dos resultados possíveis;


• Não é possível prever o resultado;


• Podem repetir-se várias vezes nas mesmas condições.

 

Espaço Amostral

    É o conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S ou
.

 

Evento

    É qualquer subconjunto do espaço amostral. Diremos que o
evento se realizou quando, na realização de um experimento aleatório, o
resultado obtido pertencer a esse subconjunto.

 

Exemplo:

    Considere o experimento aleatório de lançar um dado e
anotar o resultado. O espaço amostral deste
experimento é:

 

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

 

    Todos os subconjuntos formados
a partir desse conjunto são chamados eventos.

    Assim, por exemplo, o conjunto {2, 4, 6} é um subconjunto
do nosso espaço amostral. Que pode ser identificado por "ocorrer um número par
no lançamento de um dado".

 

    Suponhamos que, tendo lançado o dado, o resultado foi 2.

    Se o evento dado foi "números pares" = {2, 4, 6},
podemos dizer que o evento ocorreu? Será que se o evento = {5, 6} ele ocorre?

    Como podemos constatar, o número 2 aparece entre
os elementos do subconjunto dos números pares = {2, 4, 6}. Por isso, dizemos que
o evento foi par.

    Ao contrário, do segundo evento = {5, 6}, onde 2 não se
encontra.

 

Tipos de Eventos

 

    Evento Certo: É o
próprio espaço amostral.

 

Exemplo: evento A – ocorrência de um número menor
que 8

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

 

   Evento Impossível: É o
subconjunto vazio do espaço amostral.

 

Exemplo: evento B - ocorrência de um número
maior que 10

B =

 

    Evento União:
É a reunião de dois eventos.

 

Exemplos: evento A – ocorrência de um número impar
Þ E = {1, 3, 5}

evento B – ocorrência de um número par primo
Þ B = {2}

evento A È B – ocorrência de um
número impar ou de um número par primo Þ A
È B = {1, 2, 3, 5}

 

Evento Intersecção: É a
intersecção de dois eventos.

 

Exemplos: evento A – ocorrência de um número par
Þ A = {2, 4, 6}

evento B – ocorrência de um número múltiplo de 4
Þ B = {4}

evento A Ç B – ocorrência de um
número par e múltiplo de 4 Þ

A Ç B = {4}

 

Eventos mutuamente exclusivos:
São aqueles que têm conjuntos disjuntos.

 

Exemplos: evento D – ocorrência de um número par
Þ D = {2, 4, 6}

evento E – ocorrência de um número impar
Þ E = {1, 3, 5}

D Ç E =

 

Eventos complementares:
são dois eventos A e A’ tais que:

A È A’ = È
(o evento união é o próprio espaço amostral)

A Ç A’ =
(o evento intersecção é
o conjunto vazio)

 

Exemplos: evento A – ocorrência de número par
Þ A = {2, 4, 6}

evento A’ – ocorrência de número ímpar Þ
A’ = {1, 3, 5}

Observe que: A È A’ =
È = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A Ç A’ =

Experiência
Complementar

 

   Também pode nos interessar o cálculo da probabilidade de uma experiência
composta, ou seja, a realização de dois ou mais experimentos aleatórios simples.

 

    Nesses casos, a freqüência relativa esperada para cada
resultado possível do experimento é obtida a partir do produto das freqüências
relativas esperadas de cada elemento que compõe o referido resultado.

 

Exemplo:

    Temos uma moeda e duas caixas cheias de bolas coloridas.
Na caixa A temos duas bolas vermelhas e
cinco pretas, enquanto na B há quatro
bolas vermelhas e uma bola azul.

    Imagine a seguinte experiência composta: lançamos uma
moeda; se der "cara", extraímos uma bola da caixa A;
e se der "coroa", uma bola da caixa B.

    Em seguida, vamos representar por um diagrama em árvore
os resultados possíveis da experiência composta.

    Vamos Indicar também as freqüências relativas esperadas
para cada experiência parcial.

 

 

    Como observamos no esquema da figura anterior, o espaço
amostral é:

 

= {(cara, vermelha), (cara, preta), (coroa, vermelha), (coroa, azul)}

 

    O objetivo é definir uma probabilidade para o conjunto
, que
representa os resultados possíveis da experiência composta.

 

    A relação de freqüência é obtida atribuindo-se a cada resultado o produto
das freqüências relativas esperadas, que aparecem em cada ramo completo do
diagrama em árvore da figura. Desta maneira, comprovamos que a relação de
freqüência, neste caso, é a seguinte:

 

    Agora podemos calcular a probabilidade de qualquer evento dessa
experiência composta.

 

Regra de Laplace

   

A Regra de Laplace é considerada a definição clássica de
probabilidade. Para que essa definição de probabilidade seja válida, devem-se
cumprir os seguintes requisitos:

 

• O espaço amostral S tem p elementos.

 

    Assim, S = {a₁, a₂, ..., a_p}

 

• Os eventos elementares são: {a₁}, {a₂}, ..., {a_p}.
  O espaço amostral S é eqüiprovável.

 

    P ({a₁}) = P ({a₂}) = ... = P ({a_p})

 

• O evento A tem f elementos. Para ocorrer o evento A,
  o resultado deve ser algum desses f elementos, que são os casos
  favoráveis.

 

    Nesses casos, o cálculo da probabilidade de um evento
qualquer é realizado pela seguinte expressão:

 

 

    Uma vez que o número de casos favoráveis coincide com o
número de elementos do evento, e o número de casos possíveis corresponde ao
número de elementos do espaço amostral, podemos escrever:

 

    Assim, no exemplo do lançamento de um dado, se o evento A consiste
em obter o número 5, a quantidade de casos favoráveis será 1, pois
num dado não viciado só existe um número 5, e a quatidade de casos
possíveis é 6, portanto o espaço amostral é:

=
{1,2,3,4,5,6}

 

    Assim, a probabilidade do evento A será: P(A) = 1/6

    Quando dizemos que a probabilidade do evento A é 1/6, isto
não significa que, se jogarmos o dado seis vezes, em uma delas sairá, com toda a
certeza, o número 5. Pode ser que o número 5 não saia nenhuma vez,
ou ele pode sair mais de uma vez.

    A probabilidade 1/6 indica apenas que, se repetirmos esse
experimento um número muito grande de vezes, o evento A vai ocorrer em
aproximadamente 1/6 do total de jogadas.

 

Exemplo:

 

    Observe a roleta da figura abaixo e pense na
probabilidade existente de saída para cada número.

 

a) Qual a probabilidade de cada evento elementar?

1/8.P({1}) = 1/8.P({2}) = 1/8.P({4}) = 1/8.P({5}) = 1/8.P({6})
= 1/8.P({7}) = 2/8 P({3})

 

b) Qual a probabilidade de o número ser par?

        P({2,4,6}) = 3/8

 

   
OBS.:
Se quiséssemos obter esta, ou qualquer outra resposta de algum problema de
probabiliadade em porcentagem, basta fazermos uma regra de três, ou então
efetuar a divisão da fração obtida e multiplicar o resultado por 100.

    No caso acima, onde a resposta deu 3/8, para termos isto em
porcentagem:

    3/8 = 0,375 * 100 = 37,5

 

 

Tente fazer:

1) Qual é a probabilidade de, ao retirar ao
acaso uma carta de um baralho de 52 cartas, obter:

a) uma carta de copas?

b) um ás?

c) um ás de copas?

d) uma carta com naipe vermelho?

e) um "três" vermelho?

 

RESPOSTAS:

a) 25%

b) 7,7%

c) 1,9%

d) 50%

e) 3,8%

 

 

Distribuição Binomial

 

    Diz-se que uma variável real x é aleatória se os
valores de x dependem do acaso. Por isso, uma variável
aleatória sempre aparece ligada a um experimento aleatório. Sendo S o
espaço amostral de um experimento aleatório e P uma probabilidade
definida em P(S), chama-se variável aleatória a toda função:

X: S
R

 

    Isto é verdadeiro para toda função que atribua a cada evento elementar do
espaço amostral um número Real.

    De acordo com a notação matemática, costuma-se
representar a variável aleatória por uma letra maiúscula, geralmente X,
Y ou Z, e os diferentes valores da variável X, como x₁,
x₂, ..., x_n.

    Se o conjunto imagem X(S) é finito, trata-se de
uma variável aleatória discreta. Se, ao contrário, o conjunto imagem X(S)
é um intervalo, será uma variável aleatória contínua.

    Consideremos, agora, um tipo de experimento aleatório em
que só se obtém dois resultados: a um chamamos de sucesso, com uma probabilidade
p; ao seu complementar, denominamos fracasso, com uma probabilidade

 

q = 1 – p.

 

Exemplo:

1) Ao passar por um teste de 10 questões, Marcos, que não
havia se preparado para a avaliação, assinala qualquer das 5 alternativas de
cada teste. Qual a probabilidade de o rapaz acertar 6 questões?

    Inicialmente sabemos que a probabilidade de ele acertar
um teste é 1/5, isto porque há uma alternativa correta para cada uma das
alternativas. Assim, a probabilidade de ele errar será de 1–1/5 = 4/5.

    Para obtermos a probabilidade de Marcos acertar 6 e errar
4 questões, falta ainda considerar que ele pode acertar 6 de qualquer um dos 10
testes.

    Matematicamente, essa consideração se traduz na
combinação de 10 elementos, tomados 6 a 6.

    Assim, a probabilidade de Marcos acertar 6 dos 10 testes
será dada pela expressão:

 

 

2) Imaginemos agora que, ao lançarmos um dado, possamos
chamar de sucesso caso saia o número 5 e de fracasso caso saia qualquer outro
número.

    Se essa experiência aleatória for repetida n
vezes, sempre nas mesmas condições e com lançamentos independentes uns dos
outros, a variável aleatória que queremos estudar será o número total de
sucessos obtidos ao final da experiência.

    Portanto, a probabilidade p de obtermos x
sucessos no total de n repetições será dada pela seguinte expressão:

 

 

    Observe que a expressão matemática de p(x) é a de
um termo do desenvolvimento do Binômio de Newton; neste caso, para a potência
    (p + q)ⁿ.

    Por isto, a distribuição de probabilidades estudada
recebe o nome de distribuição binomial.

 

Tente fazer:

1) Um casal pretende ter 4 filhos e quer
saber qual é a probabilidade de nascerem:

a) 4 meninos;

b) 3 meninos e 1 menina;

c) 2 meninos e 2 meninas;

d) 1 menino e 3 meninas;

e) 4 meninas

 

RESPOSTAS:

a) 1/16

b) 1/4

c) 3/8

d) 1/4

e) 1/16